פושקש כבש 746 שערים במדי הקבוצות והנבחרות בהן שיחק, נתון המציב אותו במקום ה-5 בטבלת הכובשים בכל הזמנים והופך אותו גם לאחד החלוצים הגדולים בכל הזמנים.[דרוש מקור]
פושקש נולד בקישפשט שבקרבת בודפשט, כבן לפרנץ פורצלד-פושקאש, ממוצא גרמני ולאם הונגרייה, מרגיט בירו. התחיל את הקריירה שלו בקישפשט בודפשט, שם התחיל לשחק מגיל 16, ובנבחרת שיחק מגיל 18. מקישפשט עבר לבודפשט הונבד שהיה מועדון צנוע, עם מספר צופים קטן, אבל ב-1948 הפך אותו הצבא ההונגרי לקבוצת הדגל שלו. פושקש היה הקפטן, אביו היה המאמן, והקבוצה זכתה בארבע אליפויות בחמש שנים. בעונת האליפות הראשונה הבקיע פושקש 50 שערים. גביע אירופה לא היה קיים עדיין, אך הקבוצה ההונגרית נחשבה לטובה ביותר ביבשת.
הישגיה של הנבחרת ההונגרית בראשותו של פושקש היו מצוינים. נבחרת הונגריה זכתה באולימפיאדת הלסינקי ב-1952. מאביב 1950 ועד פברואר 1956 הפסידה הנבחרת ההונגרית רק במשחק אחד - גמרהגביע העולמי ב-1954, בו גברה גרמניה על הונגריה בתוצאה 3–2. פושקש שיחק במשחק זה כשהוא פצוע לאחר שנפצע במשחק מול גרמניה בשלבים המוקדמים על ידי ורנר ליבריך. בסך הוא כבש 4 שערים כולל את שער הפתיחה במשחק הגמר, ונבחר לשחקן המצטיין של הטורניר.
דרכו של פושקש בהונגריה, אשר לזכות נבחרתה כבש 83 שערים ב-84 משחקים, הגיעה לסופה ב-1956. ב-1956 ברית המועצות פלשה להונגריה ופושקש החליט לערוק ועבר לשחק בספרד בקבוצת אספניול. ההתאחדות לכדורגל בהונגריה השעתה אותו ל-18 חודשים, כשנגמרה ההשעיה פושקש היה בן יותר משלושים. להפתעת רבים, החליט פושקש לחתום ב-1958 בריאל מדריד. בריאל מדריד פושקש כיכב, היה מלך השערים של הליגה הספרדית ארבע פעמים וכבש 34 שערים. ב-1960 זכה איתה בגביע אירופה לאלופות. במשחק הגמר, בו ניצחה ריאל מדריד את איינטרכט פרנקפורט בתוצאה 3–7, כבש ארבעה שערים ובכך הוא השחקן שכבש הכי הרבה שערים במשחק גמר של הטורניר עד היום. פושקש סיים בעונת 1961/62 ככובש המצטיין בגביע אירופה לאלופות עם שבעה שערים, כולל שלושער בהפסד 5–3 במשחק הגמר לבנפיקה ליסבון.
בשנת 1962 קיבל פושקש אזרחות ספרדית וייצג את ספרד במשחקי גביע העולם שנערכו באותה השנה בצ'ילה. חוסר הצלחתו בגביע העולם הביא לפרישתו.
בשנות ה-50 היה פושקש מפורסם כאחד משחקני הכדורגל הטובים בעולם והוא מוזכר ב"שיר השכונה" של חיים חפר בשורה "חבר'ה, חבר'ה, רגע, רגע, מנדל, צביקי ופושקש משחקים בכדורגל כאן אצלנו במגרש". באותן שנים הדמויות של שחקנים נערצים כמו פלה ופושקאש הופיעו על עטיפות של גומי לעיסה (מסטיק) ונחשבו בעיני הילדים בעלי חשיבות רבה
בהונגריה מתקיים "פולחן פושקש", ובחנויות מזכרות רבות נמצאת פינה ובה ניתן לרכוש פריטים רבים עם דיוקנו בהם חולצות, כדורי-רגל, ספלים, דגלים וכדומה. כן יצאו לאור ספרים וסרטים רבים אודותיו.