סוארס, יליד סלטו, החל את הקריירה שלו במועדון הכדורגל נסיונל ממדינת הולדתו, אורוגוואי. בתקופתו במועדון הוא סומן כאחד מהכישרונות הגדולים ביותר באורוגוואי. הוא עלה לקבוצה הבוגרת של נסיונל בעונת 2005/2006, וכבר בעונה זו סייע לה לזכות באליפות אורוגוואי, לאחר שכבש 12 שערים ב-29 הופעות.
לאחר עונה מוצלחת זו, עבר סוארס לקבוצת חרונינגן מליגת העל ההולנדית. במהלך עונת 2006/2007, הראשונה שלו בכדורגל האירופי, הבקיע סוארס עשרה שערים ב-29 משחקים במדי חרונינגן. לאחר אותה עונה, באוגוסט 2007, הוא הועבר לאייאקס אמסטרדם תמורת 7.5 מיליון אירו.
בהופעת הבכורה שלו בליגה במדי אייאקס כבש סוארס שער אחד, בישל שלושה נוספים, סחט בעיטת עונשין, והוביל את הקבוצה לניצחון 1–8 על דה חראפסחאפ. הוא המשיך עם צמד שערים מול הירנביין, ושלושער במשחק מול וילם II. את עונתו הראשונה באייאקס סיים עם 17 שערים. בעונת 2008/2009 המשיך סוארס את הצטיינותו, כאשר כבש 22 שערים שמיקמו אותו שני בדירוג מלכי השערים של הליגה ההולנדית. אף על פי כן, בעונה זו אייאקס נכשלה מבחינה קבוצתית, כאשר סיימה במקום השלישי בלבד בליגה ולא הצליחה להשיג מקום במוקדמות ליגת האלופות.
את העונה הבאה, 2009/2010, סיים כמלך שערי הליגה ההולנדית עם 35 שערים ב-34 משחקים - ממוצע של למעלה משער למשחק - וזכה בתואר כדורגלן השנה בהולנד. בהובלתו הציגה אייאקס את ההתקפה הטובה בליגה באותה עונה, כשכבשה 106 שערים. הוא סייע לאייאקס לסיים במקום השני בליגה, נקודה מתחת לאלופה טוונטה אנסחדה, וזכה עמה בגביע ההולנדי לאחר שכבש צמד שערים בניצחון 1–4 על פיינורד רוטרדאם במשחק הגמר.
בתחילת שנת 2011 עבר תמורת 22.8 מיליון ליש"ט לקבוצת ליברפול מהפרמייר ליג האנגלית. הוא כבש בהופעת הבכורה שלו בליברפול אחרי שעלה מהספסל מול סטוק סיטי, ועד סוף העונה כבש ארבעה שערים ב-13 הופעות.
בתחילת עונת 2013/2014 חזר לשחק עם ליברפול, וב-20 בדצמבר2013 האריך את חוזהו במועדון עד שנת 2018. הוא הוביל את ליברפול למאבק על האליפות עד המחזור האחרון, אך לבסוף סיימה הקבוצה במקום השני. סוארס כבש 31 שערים בעונה זו, כולל רביעייה נגד נוריץ' סיטי, וסיים כמלך שערי הליגה כשהוא משווה את שיא הכיבושים בפרמייר ליג לעונה של 38 משחקים.
ברצלונה
ב-10 ביולי2014 חתם לחמש עונות בברצלונה, ששילמה לליברפול לפי דיווחה 81 מיליון אירו, אחת מההעברות היקרות בתולדות הכדורגל[1][2]. את הופעת הבכורה בקבוצה ערך בקלאסיקו נגד ריאל מדריד ב-25 באוקטובר, אז בישל שער לניימאר, אך ברצלונה הפסידה 1–3. את שער הבכורה שלו בברצלונה כבש ב-26 בנובמבר 2014, במשחק מול אפואל ניקוסיה בשלב הבתים של ליגת האלופות. ב-20 בדצמבר 2014 כבש סוארס את שער הבכורה שלו בליגה הספרדית, במשחק נגד קורדובה. ב-22 במרץ2015, במשחק הקלאסיקו בקאמפ נואו, כבש את שער הניצחון מול ריאל מדריד, במשחק שהסתיים בתוצאה 1–2. במשחק הראשון של רבע גמר ליגת האלופות כבש צמד לרשתה של פריז סן-ז'רמן ועזר לברצלונה להעפיל לחצי הגמר בתוצאה המצטברת 1–5. ב-2 במאי 2015 כבש את השלושער הראשון שלו במועדון, בניצחון 0–8 על קורדובה. ב-6 ביוני כבש את השער השני בגמר ליגת האלופות, במשחק בו ניצחה ברצלונה 1–3 וזכתה בפעם החמישית בתולדותיה במפעל.
את הופעת הבכורה ערך שלושה ימים לאחר מכן, ב-27 בספטמבר במשחק הליגה מול גרנדה. סוארס נכנס כמחליף בדקה ה-70, כבש צמד והוסיף בישול בניצחונה של אתלטיקו 1–6.
ב-21 במרץ 2021 כבש את שער היחיד בניצחון של אטלטיקו מדריד על אלאבס, השער הזה היה שער מספר 500 בקריירה של סוארס. בעונתו הראשונה במועדון הוליך את אתלטיקו מדריד לאליפות ספרד עם 22 שערי ליגה. הוא נבחר על ידי עיתון מארקה לשחקן המצטיין של הליגה לעונת 2020/2021.
במאי 2022 הודיע המועדון כי לא תהיה הארכה לחוזה וסוארס לא ימשיך לעונה הבאה[4][5].
סוארס היה מהשחקנים הבולטים של אורוגוואי במונדיאל 2010, שבו סיימה הנבחרת במקום הרביעי. סוארס כבש שלושה שערים בטורניר, לרבות שני שערים בשלב שמינית הגמר מול נבחרת קוריאה הדרומית. בדקות הסיום של ההארכה במשחק רבע הגמר מול נבחרת גאנה, הדף סוארס בכדור המשחק בידו בעומדו על קו השער, על מנת למנוע שער לזכותה של גאנה. סוארס הורחק מהמשחק וגאנה זכתה לבעיטת עונשין, אך שחקנה בעט את הכדור למשקוף. אורוגוואי ניצחה במשחק בדו-קרב בעיטות עונשין.
בקופה אמריקה 2011 הוביל את הנבחרת עם ארבעה כיבושים, כולל השער הראשון במשחק הגמר לזכייה בטורניר. הופעותיו זיכו אותו בתואר השחקן המצטיין של האליפות ואת נבחרת אורוגוואי לזכייה בתואר.
אף על פי שנפצע במשחקי ההכנה לטורניר, נכלל בסגל נבחרתו למונדיאל 2014. הוא פתח בהרכב במשחקה השני של נבחרתו בטורניר, נגד אנגליה, וכבש צמד שהעניק ניצחון 1–2 לנבחרתו. במהלך המשחק השלישי של הנבחרת בטורניר, מול איטליה, נשך את הבלם האיטלקיג'ורג'יו קייליני בכתפו. יומיים לאחר התקרית הורחק סוארס על ידי פיפ"א מתשעה משחקים בינלאומיים, והושעה מכל פעילות הקשורה בכדורגל במשך ארבעה חודשים. יו"ר ועדת המשמעת של פיפ"א קלאודיו סולסר אמר על המקרה: "התנהגות כזו אינה נסבלת על כל מגרש כדורגל ובפרט בגביע העולם בכדורגל כאשר עיני מיליונים נשואות אל הכוכבים שעל המגרש"[9][10].