Grupa bijekcji

Grupa bijekcji, grupa symetryczna^[1] – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Nazwa grupa symetryczna może mieć węższe znaczenie – oznaczać grupę permutacji, czyli bijekcji zbiorów skończonych. Grupy bijekcji zbioru ${\displaystyle X}$ oznaczane są często^[2]. ${\displaystyle \mathrm {S} (X),}$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$^[3], ${\displaystyle \mathrm {Sym} (X),}$ czy ${\displaystyle \Sigma _{X}.}$

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru ${\displaystyle X}$ wynosi ${\displaystyle |X|!;}$ w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako ${\displaystyle |X|!=2^{|X|}}$ (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

Przykłady

• Jeśli ${\displaystyle X=\varnothing }$ jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, ${\displaystyle \varnothing \to \varnothing }$ (bijekcji pustej).
• Gdy ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }={\mathfrak {c}}.}$

Przypisy

1. Opial 1972 ↓, s. 72.
2. Gleichgewicht 1983 ↓, s. 35–37.
3. Komorowski 1978 ↓, s. 2–3.

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983. ISBN 83-01-03903-5.
• Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.

Linki zewnętrzne

• Symmetric group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-05].
• symmetric group (ang.), nLab, ncatlab.org [dostęp 2024-09-05].