Półgrupa transformacji

Półgrupa transformacji – półgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako podpółgrupę.

Oznaczenia

A.H. Clifford i G.B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru ${\displaystyle X}$ symbolem ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$^[1] i będzie on stosowany również poniżej. J.M. Howie używa symbolu ${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$^[2].

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast ${\displaystyle \phi (x),}$ pisać będziemy ${\displaystyle x\phi .}$

Relacje Greena i regularność

Relacje Greena na ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ dają się scharakteryzować za pomocą poniższego twierdzenia^[3].

Charakteryzacja relacji Greena

Niech ${\displaystyle \alpha ,\,\beta \in {\mathcal {T}}_{X}.}$ Niech, dla każdego ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}_{X},\,\,\pi _{\phi }}$ oznacza relację następującą relację równoważności (jądro ${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle x\,\pi _{\phi }\,y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\phi =y\phi .}$

Wtedy

${\displaystyle \alpha \,{\mathcal {L}}\,\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X\alpha =X\beta }$ (czyli ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ mają ten sam obraz);

${\displaystyle \alpha \,{\mathcal {R}}\,\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \pi _{\alpha }=\phi \beta }$ (czyli ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ mają to samo jądro);

${\displaystyle \alpha \,{\mathcal {D}}\,\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle |X\alpha |=|X\beta |}$ (czyli obrazy ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ mają równą moc);

${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}.}$

Klasy relacji ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ są oczywiście przecięciami klas relacji ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Regularność

Łatwo jest w ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}.}$

Przypisy

1. A.H. Clifford, G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961 American Mathematical Society, s. 2.
2. J.M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, 1976, Academic Press, s. 17.
3. Dowody twierdzeń w tej sekcji można znaleźć w Clifford, Preston, s. 51–58.