Działanie dwuargumentowe a. binarne – działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.
Oznaczenia
Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np.
opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np.
choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania)
wyróżnia się notacje
- przedrostkową, prefiksową lub polską,
![{\displaystyle \diamondsuit (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df689c8722950d52b5a678ab7feb179ec44ef2ff)
- przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,
![{\displaystyle (x,y)\diamondsuit ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef8415402abde7ab6a558bc436a30c29fb23646)
- wrostkowa, infiksowa,
![{\displaystyle (x\;\diamondsuit \;y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47eddb1e6a9018c583aef14779f4d55584fe5c6)
Przykładowo wyrażenie wrostkowe
będzie miało następującą postać
- prefiksową:
![{\displaystyle +\,\cdot \,2\,-\,4\;1\;3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e963884f3a7e80d0687079811f5fff5b353649fa)
- postfiksową:
![{\displaystyle 2\,4\,1\,-\,\cdot \,3\,+.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d383deb09160f02fadc736ee794d0ca0466303c1)
Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.
Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:
- plus:
lub
- zwężających się ku dołowi:
![{\displaystyle \cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9403684b4b3ef6ee402d96e1593e82effcb5572f)
Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę
Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:
- kropkę lub okrągły znak:
![{\displaystyle \cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d563c9cee87d49116e91f875abd0741ccfe61d01)
- iks:
![{\displaystyle \times \otimes \bigotimes \boxtimes ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fd735959422576be2524da75e6188cd2aad467)
- gwiazdkę:
lub
- zwężające się ku górze
![{\displaystyle \cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055466bdb9e9c13de6e6f9cec9ab29eeecaf7a2c)
Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez
notacji wynikającej z definicji potęgowania.
Przykłady
Działania wewnętrzne
Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru
element tego zbioru,
![{\displaystyle \heartsuit \colon X\times X\to X,\quad \forall _{x,y\in X}\;(x,y)\mapsto \heartsuit (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac041f7db13189e13f3228c79f360182e9676bcb)
Strukturę
nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie
ma dodatkowo element neutralny, to struktura
jest monoidem. Jeśli struktura
jest grupą ze względu na przemienne działanie
i półgrupą ze względu na
przy czym działanie
jest rozdzielne względem
to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie
jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci
Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest
elementem neutralnym mnożenia jest
Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.
W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania:
które parze liczb
przypisuje odpowiednią potęgę:
Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.
Działanie składania funkcji
jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze
W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.
Działania zewnętrzne
Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów
oraz
element pewnego zbioru
![{\displaystyle \spadesuit \colon X\times Y\to Z,\quad \forall _{x\in X,y\in Y}\;(x,y)\mapsto \spadesuit (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111767977e6eda6689db71fdc041f56ab25cb4a0)
Przykładami takich działań są
- mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej
nad ciałem
![{\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fe9dab74a7b8970b9eb0b88048baaa7cc845d8)
- działanie grupy
na zbiorze
![{\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe5f625c38cbf97b05144ab9d20625e3ca06847)
Zobacz też
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Binary Operation, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].
Binary operation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].