Pierwiastek z jedynki
n
{\displaystyle n}
-tego stopnia w ciele K – element
a
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle a\in K}
spełniający równość[1] :
a
n
=
1.
{\displaystyle a^{n}=1.}
gdzie
n
{\displaystyle n}
jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem
K
{\displaystyle K}
może być w szczególności ciało
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[2] .
Grupa pierwiastków
Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia
n
{\displaystyle n}
tworzy grupę ze względu na mnożenie .
Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu
n
,
{\displaystyle n,}
zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt
Z
n
.
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}
Generatorami tej grupy są te pierwiastki
ε ε -->
n
(
k
)
{\displaystyle \varepsilon _{n}^{(k)}}
dla których
NWD
(
n
,
k
)
=
1
,
{\displaystyle {\mbox{NWD}}(n,k)=1,}
czyli liczby
n
{\displaystyle n}
i
k
{\displaystyle k}
są względnie pierwsze . Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki . Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia
n
{\displaystyle n}
z jedynki jest równa
φ φ -->
(
n
)
,
{\displaystyle \varphi (n),}
gdzie
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
jest funkcją Eulera .
Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych
W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a .
Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki
n
{\displaystyle n}
-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o
n
{\displaystyle n}
bokach wpisanego w okrąg jednostkowy , którego jeden z wierzchołków leży w punkcie
1.
{\displaystyle 1.}
Realizują one podział tego okręgu na
n
{\displaystyle n}
równych części.
Przykłady
Pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia to liczba
1
{\displaystyle 1}
Pierwiastki kwadratowe z jedynki:
+
1
,
− − -->
1
{\displaystyle +1,-1}
Pierwiastki sześcienne z jedynki:
1
,
− − -->
1
− − -->
i
3
2
,
− − -->
1
+
i
3
2
{\displaystyle 1,{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}},{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}
Pierwiastki czwartego stopnia z jedynki:
1
,
+
i
,
− − -->
1
,
− − -->
i
{\displaystyle 1,+i,-1,-i}
Własności
Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej
Istnieje dokładnie
n
{\displaystyle n}
różnych pierwiastków stopnia
n
{\displaystyle n}
z jedynki:
ε ε -->
n
(
k
)
=
cos
-->
(
2
k
π π -->
n
)
+
i
sin
-->
(
2
k
π π -->
n
)
=
e
2
π π -->
i
k
n
,
{\displaystyle \varepsilon _{n}^{(k)}=\cos \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)=e^{\frac {2\pi ik}{n}},}
gdzie
k
=
0
,
1
,
… … -->
,
n
− − -->
1.
{\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1.}
Dla
n
>
1
{\displaystyle n>1}
wszystkie pierwiastki z jedynki
n
{\displaystyle n}
-tego stopnia sumują się do
0
:
{\displaystyle 0{:}}
∑ ∑ -->
k
=
0
n
− − -->
1
e
2
π π -->
i
k
n
=
0.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.}
Przypadek
n
=
2
{\displaystyle n=2}
powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera .
Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} _{n}}
wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych . Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy
C
p
∞ ∞ -->
=
d
e
f
⋃ ⋃ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
C
p
n
,
{\displaystyle \mathbb {C} _{p^{\infty }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\bigcup _{n=1}^{\infty }~\mathbb {C} _{p^{n}},}
gdzie
p
{\displaystyle p}
jest ustaloną liczbą pierwszą .
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup . Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4 . Brak numerów stron w książce