Grupa przemienna a. abelowa – w matematyce grupa z działaniem przemiennym.
Określenie „abelowa” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela (1802–1829), który podał warunki rozwiązywalności równań wielomianowych w postaci równań nazywanych jego nazwiskiem (za Jordanem i Kroneckerem). W późniejszych pracach innych autorów, operujących innymi, nowocześniejszymi narzędziami, okazało się, że wspomniane warunki były równoważne przemienności odpowiedniej grupy przekształceń pierwiastków wielomianu (tzw. grupy Galois, od nazwiska prekursora teorii grup, Évariste’a Galois, 1811–1832). Jako pierwszy nazwy „grupa abelowa” na określenie grup przemiennych użył Weber.
Definicja formalna
Grupę
nazywa się przemienną albo abelową, gdy działanie
w niej określone jest przemienne, tj.
- dla dowolnych
zachodzi ![{\displaystyle a\circ b=b\circ a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029229efe91931dbb1b40231bbba7ec2f6427bd9)
Dla grup przemiennych zwyczajowo stosuje się zapis addytywny, w tym zapisie aksjomat przemienności ma postać
Grupę, która nie jest przemienna, nazywa się nieprzemienną lub nieabelową.
Przykłady
- Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ dla
zachodzi
Dlatego przemienne są liczby całkowite
z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo n
(tzw. addytywna grupa klas reszt).
- Każdy pierścień jest z definicji grupą abelową ze względu na działanie dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy odwracalne są multiplikatywną grupą abelową. W szczególności grupa addytywna liczb rzeczywistych (tzn. liczby rzeczywiste z dodawaniem) jest grupą abelową, podobnie multiplikatywna (tzn. niezerowe liczby rzeczywiste z mnożeniem) jest abelowa.
- Grupa symetryczna
dla
jest przemienna, co nie zachodzi już dla ![{\displaystyle n>2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1cb69fc30fbcd3b77ac0013a51c30ac91da8ae)
- Grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem jest przemienna, jednakże macierze, nawet odwracalne, z mnożeniem nie są grupą abelową, ponieważ mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne.
- Grupa czwórkowa Kleina będąca najmniejszą niecykliczną grupą abelową.
Własności
- Jeżeli
jest przemienna, to dla każdego
oraz
zachodzi
![{\displaystyle (ab)^{n}=a^{n}b^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bf22a3d4d92911ef409ba0b0353565b25c3bad)
- Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna, dlatego z każdej z nich można utworzyć grupę ilorazową. Podgrupy, ilorazy i iloczyny proste grup przemiennych są przemienne.
- Jeżeli
jest liczbą naturalną, a
elementem grupy abelowej
w zapisie addytywnym, to
można zdefiniować jako
(n czynników) oraz
W ten sposób
staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych
W rzeczywistości, moduły nad
mogą być utożsamiane z grupami abelowymi.
- Twierdzenia o grupach abelowych (które są modułami nad dziedziną ideałów głównych
) mogą być częstokroć uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych.
- Jeżeli
są homomorfizmami między grupami abelowymi, to ich suma
określona „punktowo” wzorem
również jest homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli
nie jest abelowa). Zbiór
wszystkich homomorfizmów grupowych z
w
sam staje się grupą przemienną.
- Podobnie do wymiaru przestrzeni liniowych, każda grupa przemienna ma rangę. Jest ona zdefiniowana jako liczba kardynalna największego zbioru liniowo niezależnych elementów grupy. Liczby całkowite i liczby wymierne, jak również każda podgrupa liczb wymiernych, mają rangę równą jeden.
- Jeżeli dla każdego
zachodzi
(rząd każdego elementu jest co najwyżej 2), to
jest przemienna. Jeżeli dla każdego
zachodzi
i
to
nie musi być abelowa (przykład to grupa macierzy kwadratowych
trójkątnych górnych, które na głównej przekątnej mają same jedynki, a nad główną przekątną mają elementy z ciała
gdzie
jest liczbą pierwszą dzielącą
).
Skończone grupy przemienne
Twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych mówi, że każda skończona grupa przemienna może być wyrażona jako suma prosta podgrup cyklicznych rzędu będącego potęgą liczby pierwszej. Jest to przypadek szczególny twierdzenia o klasyfikacji skończenie generowanych grup przemiennych w przypadku, gdy rozważana grupa ma beztorsyjną rangę równą zeru.
Grupa
jest izomorficzna z iloczynem prostym
przez
wtedy i tylko wtedy, gdy
i
są względnie pierwsze.
Dlatego można zapisać dowolną skończoną grupę abelową
jako iloczyn prosty postaci
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3eaed94711618137c276ca210d030ad9519943)
na dwa różne sposoby:
- gdzie liczby
są potęgami liczb pierwszych,
- gdzie
dzieli
które dzieli
i tak dalej, aż do ![{\displaystyle k_{u}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54441b024bd9fe313b475d0c2d8dfa5b308b94b9)
Na przykład
może być wyrażona jako suma prosta dwóch podgrup cyklicznych rzędów odpowiednio 3 i 5:
To samo można powiedzieć o dowolnej grupie przemiennej rzędu 15, co prowadzi do ciekawego wniosku, iż wszystkie grupy przemienne rzędu 15 są izomorficzne.
Innym przykładem jest fakt, że każda grupa abelowa rzędu 8 jest izomorficzna z
(liczby całkowite od 0 do 7 z dodawaniem modulo 8),
(nieparzyste liczby całkowite od 1 do 15 z mnożeniem modulo 16) bądź
Zobacz też listę małych grup zawierającą skończone grupy przemienne rzędu 16 lub mniejszego.
Automorfizmy skończonych grup przemiennych
Twierdzenie klasyfikacji można zastosować do zliczania (czasami również wyznaczenia) automorfizmów danej skończonej grupy przemiennej
Aby tego dokonać, należy skorzystać z faktu (który nie zostanie tu udowodniony), że jeżeli
rozkłada się na sumę prostą
podgrup o względnie pierwszych rzędach, to
Wtedy twierdzenie o klasyfikacji mówi, że aby wyznaczyć grupę automorfizmów grupy
wystarczy wyznaczyć grupy automorfizmów p-podgrup Sylowa (tj. wszystkich sum prostych podgrup cyklicznych, z których rząd każdej jest potęgą
). Dalej
jest ustalone i założono, że wykładniki
czynników cyklicznych p-podgrup Sylowa są ułożone w porządku rosnącym:
![{\displaystyle e_{1}\leqslant e_{2}\leqslant \ldots \leqslant e_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9e73526618337fbd8f1b58893abd00f046da0f)
dla pewnego
Szukane są automorfizmy grupy
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{p^{e_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d0972b2d614da7d466633970d240b7eb0895f2)
Przypadek szczególny, dla
czyli taki w którym istnieje tylko jeden cykliczny czynnik mający potęgę będącą liczbą pierwszą w p-podgrupie Sylowa
Wtedy można skorzystać z teorii automorfizmów skończonych grup cyklicznych. Kolejny przypadek szczególny obejmuje dowolne
ale
dla
Tutaj
jest postaci
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e1cd257f36742f42e6d555d90071a50d8044e2)
tak więc elementy tej podgrupy można postrzegać jako składające się na n-wymiarową przestrzeń liniową nad skończonym ciałem o
elementach
Automorfizmami tej grupy są więc odwracalne przekształcenia liniowe, dlatego
![{\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\simeq \operatorname {GL} (n,F_{p}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042daccfa2e8d6f58b4dba477f4cb38a9e7ae70e)
o których łatwo pokazuje się, że mają rząd
![{\displaystyle |\operatorname {Aut} (P)|=(p^{n}-1)\ldots (p^{n}-p^{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fa994f92d04b002d095bbf1a57a9bc829232e2)
W najogólniejszym przypadku, gdzie tak
jak i
są dowolne, wyznaczenie grupy automorfizmów jest trudniejsze. Wiadomo jednak, że zdefiniowanie
![{\displaystyle d_{k}=\max\{r\colon e_{r}=e_{k}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d31e551fc0ce33f2f94909170dc526f073d82b9)
oraz
![{\displaystyle c_{k}=\min\{r\colon e_{r}=e_{k}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5beaa1f11a1d68d74d6a01ab44e5cf732bee47)
daje w szczególności
oraz
![{\displaystyle |\operatorname {Aut} (P)|=\left(\prod _{k=1}^{n}~{p^{d_{k}}-p^{k-1}}\right)\left(\prod _{j=1}^{n}~{(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}~{(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565890062fd13855651ed07f305484473df94da1)
Można sprawdzić, że wzór ten uogólnia rzędy z poprzednich przykładów (zob. [Hillar, Rhea]).
Związki z innymi działami matematyki
Zbiór wszystkich grup abelowych wraz z homomorfizmem między nimi stanowi kategorię
prototyp kategorii abelowej.
Prawie wszystkie dobrze znane struktury algebraiczne różne od algebr Boole’a są nierozstrzygalne. Dlatego zaskakującym jest, że studentka Alfreda Tarskiego, Wanda Szmielew, udowodniła (1955), że teoria pierwszego rzędu grup abelowych, w przeciwieństwie do nieabelowych, jest rozstrzygalna. Rozstrzygalność ta, wraz z podstawowym twierdzeniem skończonych grup przemiennych opisanych wyżej, podkreślają pewne sukcesy teorii grup abelowych, jednakże nadal istnieje wiele obszarów, w których prowadzi się badania:
- wśród beztorsyjnych grupa abelowych skończonego rzędu, dobrze zrozumiane są tylko przypadki grup skończenie generowanych oraz rangi 1;
- istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi;
- choć przeliczalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym przedstawieniom i niezmiennikom Ulma, to badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane;
- o wielu łagodnych rozszerzeniach teorii pierwszego rzędu grup abelowych wiadomo jest, iż są nierozstrzygalne;
- skończone grupy przemienne są przedmiotem badań obliczeniowej teorii grup.
Co więcej, grupy abelowe nieskończonego rzędu prowadzą, całkiem zaskakująco, do poważnych pytań dotyczących teorii mnogości, o której powszechnie uważa się, że jest podstawą całej matematyki. Przykładem może być problem Whiteheada: czy wszystkie grupy Whiteheada nieskończonego rzędu są także grupami abelowymi wolnymi? W latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku Saharon Szelach udowodnił, że problem Whiteheada jest:
- nierozstrzygalny w ZFC, tradycyjnej aksjomatycznej teorii zbiorów, z której wyprowadzona może być prawie cała współczesna matematyka,
- nierozstrzygalny również, jeżeli ZFC rozszerzy się przez przyjęcie uogólnionej hipotezy continuum jako aksjomat,
- rozstrzygalny, jeśli ZFC rozszerzy się o aksjomat konstruowalności.
Unormowane grupy abelowe
Pojęcie normy określanych na przestrzeniach liniowych można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy, jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyki.
Niech
będzie grupą abelową. Odwzorowanie
które dla dowolnych
spełnia warunki:
![{\displaystyle \|g\|=0\Leftrightarrow g=0_{G},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813dde8cb795bd6378291ad85bce8e164726ca5a)
![{\displaystyle \|g\|=\|-g\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdd5b373bde909e68696343f4d0cff455aa8f19)
![{\displaystyle \|g+h\|\leqslant \|g\|+\|h\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ec57bee6c78b6552759a9ce4fb9024ac1b6d6d)
nazywa się normą grupy abelowej
Parę
nazywa się unormowaną grupą abelową.
Zobacz też
Bibliografia
- Fuchs, László (1970) Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press, s. xi+290.
- Fuchs, László (1973) Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press, s. ix+363.
- Hillar, Christopher oraz Rhea, Darren, Automorphisms of Finite Abelian Groups (Automorfizmy skończonych grup abelowych).
- Szmielew, Wanda, Elementary properties of abelian groups (Podstawowe własności grup abelowych), „Fundamenta Mathematica” 41/1955, s. 203–271.
Linki zewnętrzne
Abelian group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].