Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad przestrzeniami Banacha. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowane, takie że norma indukuje metrykę, przy czym metryka ta ma szczególną własność – jest zupełna.
Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.
Jeśli norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej:
Równoważność norm
Df. 3 (równoważności norm)
Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię.
Uwaga: Badanie równoważności norm sprowadza się z powyższej racji do badania równoważności metryk.
Tw. 4 (o równoważności norm)
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm w przestrzeni jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych które dla każdego elementu spełniają warunek
Tw. 5 (o zupełności norm)
Z powyższego wynika bezpośrednio, że:
Jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.
Tw. 6
W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.
Tw. 7
W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.
(2) Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta, jest przestrzenią unormowaną (ale nie jest przestrzenią Banacha).
(3) Przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych jest przestrzenią unormowaną, ale niezupełną (przestrzeń ta jest podprzestrzenią przestrzeni ).
dla definiuje metrykę na przestrzeni Mówimy, że norma indukuje metrykę.
Topologia indukowana przez normę
Topologia indukowana przez normę przestrzeni jest liniowa w tym sensie, że przestrzeń liniowa wraz z tą topologią tworzy przestrzeń liniowo-topologiczną (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są ciągłe w sensie topologii produktowych, odpowiednio w i ), która jest ponadto lokalnie wypukła L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z absolutnie wypukłychzbiorów domkniętych jest rodzina
Z drugiej strony, tzw. kryterium Kołmogorowa podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są normowalne): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest T1 oraz zawiera wypukłe i ograniczone otoczenie zera[2] (funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).
Jeżeli jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem to przestrzeń funkcjonałów liniowych określonych na i o wartościach w oznacza się zwykle symbolem i nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do
W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń nazywaną przestrzenią sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń jest zupełna.
Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie jest gęstym podzbiorem w sensie -topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie jest suriekcją. Przestrzeń jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.
Z każdą parą przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń wszystkich ciągłychoperatorów liniowych W przestrzeni wprowadza się normę wzorem
↑ abNiektórzy autorzy, jak na przykład Nicolas Bourbaki, podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej, dopuszczając by K było dowolnym pierścieniem waluacjiz dzieleniem – nie jest to jednak powszechna praktyka.