Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – dla danej grupy rodzaj podgrupy umożliwiający utworzenie grupy ilorazowej. W języku algebry ogólnej podgrupy normalne to kongruencje w grupach[potrzebny przypis].
Definicje
Podgrupę
grupy
nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne są równe odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy
![{\displaystyle gN=Ng}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f232ec79bb6dd5e6f6df50df50e1152a70e17bde)
dla wszystkich
Fakt ten oznacza się symbolem
Warunki równoważne
Niech
będzie podgrupą grupy
Wówczas następujące warunki są równoważne:
- (i)
jest podgrupą normalną,
- (ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych
w
są równe, czyli ![{\displaystyle G/N=G\backslash N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ee32b1f2dd0f255a4929936d0a034620c3c241)
- (iii) relacja równoważności
na zbiorze
określona wzorem
![{\displaystyle a\sim b{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{\iff }}ab^{-1}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e401f04d7fba48557b81fd9b3c3189feb06ef16)
- jest zgodna z działaniem w grupie
czyli dla wszystkich
![{\displaystyle (a\sim b)\land (c\sim d)\Rightarrow (ac)\sim (bd),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cd2f99935154c28e6ee439ef0faf9bf2b0a615)
- (iii’) relacja równoważności
na zbiorze
określona wzorem
![{\displaystyle a\backsim b{\overset {\underset {\mathrm {def} }{\ }}{\iff }}a^{-1}b\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b596859dc37d1bb229da5da5f6ea4940acc66492)
- jest zgodna z działaniem w grupie
czyli dla wszystkich
![{\displaystyle (a\backsim b)\land (c\backsim d)\Rightarrow (ac)\backsim (bd),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4693ea3a82fa3122de2f34fa2bfb56206e819361)
- (iv) dla każdego
zachodzi ![{\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48528a35180973b1831bd23b6214ce6be3c9d6d)
- (iv’) dla każdego
zachodzi ![{\displaystyle g^{-1}Ng\subseteq N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412a2139459b8828cfca748f465ffdb43e850d69)
- (v) dla każdego
zachodzi ![{\displaystyle gNg^{-1}=N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7badaa3878dc79a24b1ecc01b93c8c083f877646)
- (v’) dla każdego
zachodzi ![{\displaystyle g^{-1}Ng=N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf0f2d09b1c93f0c2202aa7b087ece402d29295)
- (vi-vi’) grupa
jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli
dla
dla dowolnego ![{\displaystyle g\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
- lub
dla
dla dowolnego ![{\displaystyle g\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4371aebebb977dc3642028f7353c339d22a7491)
- (vii)
jest sumą klas sprzężoności ![{\displaystyle G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363)
- (viii) istnieje pewien homomorfizm określony na
którego jądrem jest ![{\displaystyle N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356b8b60a047de347b447f2bdafaaccf47502031)
Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.
Niektórzy autorzy używają oznaczenia
dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy
(od ang. Normal Subgroup).
Uwagi
Podgrupy trywialne grupy
czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa
są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy
nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu
Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.
Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.
Własności
- Normalność jest zachowywana przy epimorfizmach (suriektywnych homomorfizmach), a także braniu przeciwobrazów.
- Normalność jest zachowywana przy braniu iloczynów prostych.
- Podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy nie musi być normalna w tej grupie, tzn. normalność nie jest relacją przechodnią. Jednakże podgrupa charakterystyczna podgrupy normalnej jest normalna w grupie. Również podgrupa normalna czynnika centralnego jest normalna w grupie. W szczególności podgrupa normalna czynnika prostego jest normalna w całej grupie.
- Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna:
- Dowód. Jeżeli
to
jest podgrupą normalną w
(istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne, jak i prawostronne: izomorficzne z
oraz z
– dopełnieniem
stąd
co oznacza, że
jest normalna).
- Ogólniej, podgrupa
taka, że
zawiera podgrupę
normalną w
indeksu dzielącego
nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności, jeżeli
jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd
to każda podgrupa o indeksie
jest normalna.
Struktura kraty w rodzinie podgrup normalnych
Podgrupy normalne w
tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym
i największym
Dla danych dwóch podgrup normalnych
ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):
![{\displaystyle N\wedge M:=N\cap M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17de3fb819202558ac9dce6fabf0c25a1c6a392c)
a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):
![{\displaystyle N\vee M:=\langle N,M\rangle ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d732538b2c69e8ed2eb81e122e86c04a94e201e)
w przypadku grup przemiennych
jest równe iloczynowi kompleksowemu
dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu
Związek z homomorfizmami
Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli
jest normalna w
to można skonstruować z niej grupę ilorazową
mnożenie na warstwach określone jest wzorem
![{\displaystyle (aN)(bN):=(ab)N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fd6d000e967ee4506a047a8b61b84e6311e415)
Niech
oznacza element neutralny grupy. Istnieje naturalny homomorfizm
dany wzorem
Obraz
składa się wyłącznie z elementu neutralnego
warstwy
W ogólności homomorfizm grup
przeprowadza podgrupy
na podgrupy
również przeciwobraz dowolnej podgrupy w
jest podgrupą w
Przeciwobraz podgrupy trywialnej
w
nazywa się jądrem homomorfizmu
i oznacza symbolem
Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz
jest zawsze izomorficzny z
(pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych
w
a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych
(co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego,
jest samo
a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie
Przykłady
- W dowolnej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest normalna. Grupy w których każda podgrupa jest normalna nazywane są grupami Hamiltona, istnieją nieprzemienne grupy tego rodzaju.
- Podgrupa obrotów
jest normalna w grupie izometrii wielokąta foremnego
gdzie
jest obrotem,
– dowolną symetrią osiową,
– liczbą wierzchołków wielokąta (podgrupa ta jest nawet charakterystyczna).
- Podgrupa alternująca
grupy symetrycznej
jest w niej normalna, ponieważ
dla każdego ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b82f4024a32a795b10f00971e03ad88ebaa367)
Zobacz też
Bibliografia
- A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
- KazimierzK. Szymiczek KazimierzK., AndrzejA. Sładek AndrzejA., MieczysławM. Kula MieczysławM., Zbiór zadań z teorii grup, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, ISBN 83-01-08595-9, OCLC 749304254 . Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
Normal subgroup (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].