Klasa sprzężoności

Klasa sprzężoności – podzbiór danej grupy powstały w wyniku podziału jej zbioru elementów. Elementy danej klasy sprzężoności dzielą wiele wspólnych własności. Pojęcie to nie znajduje zastosowania w grupach przemiennych, gdyż każda klasa sprzężoności składa się wtedy z jednego elementu, jednakże studiowanie klas sprzężoności grup nieprzemiennych ujawnia wiele ważnych cech ich struktury.

Relacja

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą. Elementy ${\displaystyle a,b\in G}$ są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element ${\displaystyle g\in G}$ taki, że ${\displaystyle a=gbg^{-1}.}$

Powyższa relacja jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywa się klasami sprzężoności. W algebrze liniowej równość ta w odniesieniu do macierzy nazywana jest podobieństwem.

Można pokazać, że sprzężenie jest relacją równoważności, dlatego też dzieli ${\displaystyle G}$ na rozłączne klasy równoważności (każdy element należy do dokładnie jednej klasy sprzężoności, a klasy reprezentowane przez ${\displaystyle a,b}$ są równe, jeżeli ${\displaystyle a,b}$ są sprzężone i rozłączne w przeciwnym wypadku). Klasa równoważności zawierająca element ${\displaystyle a\in G}$ to zbiór

${\displaystyle \{gag^{-1}\colon g\in G\}}$

nazywany klasą abstrakcji elementu ${\displaystyle a.}$

Przykłady

Grupa symetryczna ${\displaystyle S_{3},}$ składająca się z wszystkich sześciu permutacji trzech elementów, rozkłada się na trzy klasy sprzężoności:

• brak zmian (abc → abc),
• zamiana dwóch elementów miejscami (abc → acb, abc → bac, abc → cba),
• cykliczna permutacja wszystkich trzech elementów (abc → bca, abc → cab).

Grupa symetryczna ${\displaystyle S_{4},}$ składająca się z wszystkich dwudziestu czterech permutacji czterech elementów, ma pięć klas sprzężoności (niżej znajduje się lista według rzędu):

• brak zmian (1),
• zamiana dwóch elementów miejscami (6),
• cykliczna permutacja trzech elementów (8),
• cykliczna permutacja wszystkich czterech elementów (6),
• zamiana miejscami dwóch par elementów (3).

W ogólności liczba klas sprzężoności grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{n}}$ jest równa liczbie rozkładów liczby całkowitej ${\displaystyle n.}$ Jest tak, ponieważ każda klasa sprzężoności odpowiada dokładnie jednemu z podziałów ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ na cykle z dokładnością do permutacji elementów ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}.}$

Działanie grupy

Dla danej grupy ${\displaystyle G}$ klasy równoważności można zdefiniować za pomocą działania grupy na zbiorze jej elementów poprzez automorfizmy wewnętrzne, tzw. sprzężenia, czyli działanie zdefiniowane wzorem

${\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}.}$

Orbity tego działania nazywa się właśnie klasami sprzężoności. Stabilizatorem (grupą izotropii) dowolnego elementu jest centralizator tego elementu.

Podobnie można zdefiniować działanie grupy ${\displaystyle G}$ na zbiorze wszystkich podzbiorów ${\displaystyle G{:}}$

${\displaystyle g\cdot S=gSg^{-1}}$

lub na zbiorze wszystkich podgrup ${\displaystyle G.}$ Stabilizatorem (grupą izotropii) takiej podgrupy jest jej normalizator.

Równanie klas sprzężoności

Jeżeli skończona grupa ${\displaystyle G}$ działa na sobie przez sprzężenia, a ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ jest zbiorem reprezentantów klas elementów sprzężonych, to równanie klas przyjmuje postać

${\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{n}~[G\colon Z(x_{i})].}$

Stwierdzenie

Jeżeli element ${\displaystyle x\in G}$ jest sprzężony sam ze sobą, to dla dowolnego ${\displaystyle g\in G}$ zachodzi

${\displaystyle gxg^{-1}=x\iff gx=xg.}$

Innymi słowy klasa ${\displaystyle x^{G}}$ jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej element ${\displaystyle x}$ jest przemienny z dowolnym elementem grupy, a zatem należy do ${\displaystyle Z(G).}$ Niech ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$ będą reprezentantami takich jednoelementowych klas, wówczas grupę ${\displaystyle G}$ można przedstawić w postaci

${\displaystyle G=Z(G)\cup x_{k}^{G}\cup \dots \cup x_{n}^{G},}$

gdzie ${\displaystyle |x_{i}^{G}|>1}$ dla ${\displaystyle i=k,\dots ,n.}$ Równanie klas przybiera wówczas postać

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=k}^{n}~[G\colon Z(x_{i})].}$

Twierdzenie

Jeśli grupa ${\displaystyle G}$ jest rzędu ${\displaystyle p^{m},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest pewną liczbą pierwszą, to ma ona nietrywialne centrum. Ponadto, ${\displaystyle |Z(G)|\geqslant p.}$

Korzystając z powyższego stwierdzenia jest

${\displaystyle p^{m}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i=k}^{n}~[G\colon Z(x_{i})],}$

gdzie ${\displaystyle |x_{i}^{G}|>1}$ dla ${\displaystyle i=k,\dots ,n.}$

Na mocy twierdzenia Lagrange’a, każdy indeks ${\displaystyle [G\colon Z(x_{i})]}$ jest dzielnikiem rzędu grupy, czyli pewną potęgą liczby ${\displaystyle p,}$ a więc i ${\displaystyle p}$ dzieli ${\displaystyle |Z(G)|.}$ Ponadto ${\displaystyle |Z(G)|>0,}$ gdyż należy do niego element neutralny.

Interpretacja geometryczna

Klasy sprzężoności w grupie podstawowej drogowo spójnej przestrzeni topologicznej mogą być postrzegane jako klasy równoważności pętli wolnych względem homotopii wolnej.

Zobacz też

• automorfizm
• sprzężenie