![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png) |
Ten artykuł dotyczy grup o najprostszej możliwej strukturze. Zobacz też: podgrupa trywialna. |
Grupa trywialna[a] – grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami[b].
Przykłady
Istnieje wiele tak scharakteryzowanych grup, np.:
wszystkie one mają tę samą strukturę, tzn. są izomorficzne.
Dzieje się tak również dlatego, że w dowolnym zbiorze jednoelementowym
można wprowadzić jedno i tylko jedno działanie dwuargumentowe
które uczyniłoby z niego grupę[f]. Wówczas wzór
![{\displaystyle e\ \heartsuit \ e=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179edae389dad3a96021a4057eadd6ec579bbc2c)
opisuje wszystkie w niej zależności; w szczególności, iż
pełni rolę elementu neutralnego oraz odwrotnego względem siebie. W związku z powyższym często utożsamia się wszystkie grupy jednoelementowe oznaczając je wspólnym symbolem, np.
czy
(w notacji multiplikatywnej) albo
(w notacji addytywnej).
Własności
Każda grupa trywialna jest cykliczna, gdyż jest generowana przez element neutralny (przyjmuje się również, że generuje ją także zbiór pusty). Jako taka jest ona zatem: przemienna (abelowa), a ponadto doskonała, pełna, nilpotentna oraz rozwiązalna; dodatkowo jest to jedyna grupa jednocześnie torsyjna i beztorsyjna, przyjmuje się również, że ma zerową rangę.
W dowolnej grupie można wyróżnić jedną i tylko jedną podgrupę, która sama w sobie jest grupą trywialną: składa się ona z jej elementu neutralnego i nazywa podgrupą trywialną tej grupy.
Uwagi