Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak
gdzie
należą do takiego podzbioru).
Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.
Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę
nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór
taki, że każde przekształcenie
w dowolną grupę
można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu
Można udowodnić, że każdy taki zbiór
musi być układem generatorów grupy
tzn. nie ma podgrupy
spełniącej
i
Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór
Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.
Własności
- Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
- Każda grupa
jest obrazem ustalonego homomorfizmu
pewnej grupy wolnej ![{\displaystyle F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b34655c2ef19b56c81af0e6d1f2f6df0d3ed33)
- Jeżeli
to obraz układu wolnych generatorów grupy
tworzy układ generatorów grupy ![{\displaystyle G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a)
- Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że
gdzie
są generatorami
(
oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę ![{\displaystyle G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a)
- Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.
Przykłady
- Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
- Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter
w których nie występują pary
Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par, czyli np.:
![{\displaystyle llPl*Pl=llPlPl}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86704d02fa227ebe286b3efc3a8fc380ada58973)
![{\displaystyle llPl*lPl=llPllPl}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38fc198f9faf1e722d4bf838873459644913182)
![{\displaystyle llPp*lP=llPP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e5b3511bc6c33d2b10dfa03e306b11092c4685)
![{\displaystyle llPl*pL=ll}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30f8fe191f7470afca11b235a3d5da6eb1b46cb)
czyli ciąg pusty.
- tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.:
Elementem odwrotnym do
jest
odwrotnym do
jest
Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter
oraz
Elementem neutralnym – ciąg pusty.
Zobacz też
Bibliografia
- Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Shafarevich: Algebra I. Basic notions of Algebra. Springer, s. 134.