Zbiór generatorów grupy

Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).

Ogólniej, jeżeli ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem grupy ${\displaystyle G}$ to podgrupa generowana przez ${\displaystyle S}$, oznaczana symbolem ${\displaystyle \langle S\rangle }$ jest najmniejszą podgrupą grupy ${\displaystyle G}$ zawierającą każdy element zbioru ${\displaystyle S,}$ czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy ${\displaystyle S}$^[a]. Równoważnie ${\displaystyle \langle S\rangle }$ to podgrupa tych wszystkich elementów ${\displaystyle G,}$ które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów ${\displaystyle S}$ i ich odwrotności^[b].

Gdy ${\displaystyle G=\langle S\rangle ,}$ to mówi się, że ${\displaystyle S}$ generuje ${\displaystyle G.}$ Elementy ${\displaystyle S}$ nazywa się wtedy generatorami grupy ${\displaystyle G.}$ Jeśli ${\displaystyle S}$ jest zbiorem pustym, to ${\displaystyle \langle S\rangle }$ jest grupą trywialną ${\displaystyle \{e\}.}$

Jeśli ${\displaystyle S}$ zawiera tylko jeden element ${\displaystyle x,}$ to zwykle pisze się ${\displaystyle \langle x\rangle }$ (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku ${\displaystyle \langle x\rangle }$ jest podgrupą cykliczną potęg ${\displaystyle x,}$ która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grupa ta jest generowana przez ${\displaystyle x.}$ O tym, że ${\displaystyle x}$ generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż ${\displaystyle \langle x\rangle }$ jest równe całej grupie ${\displaystyle G.}$ Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż ${\displaystyle x}$ ma rząd równy ${\displaystyle |G|.}$

Grupy skończenie generowane

W przypadku, gdy zbiór ${\displaystyle S\subseteq G}$ jest skończony, grupę ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór ${\displaystyle S,}$ to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem ${\displaystyle S}$ o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).

• Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ ${\displaystyle \langle G\rangle =G.}$
• Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1, jak i –1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta

${\displaystyle \langle p,q\rangle =\mathbb {Z} .}$

Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.

• Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
• Gdy ${\displaystyle G}$ jest grupą skończenie generowaną oraz ${\displaystyle N}$ jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa ${\displaystyle G/N}$ jest również skończenie generowana.
• Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład niech ${\displaystyle G}$ oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ oraz niech ${\displaystyle S}$ będzie podzbiorem ${\displaystyle G}$ składającym się ze wszystkich elementów postaci ${\displaystyle y^{n}xy^{-n},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa ${\displaystyle \langle S\rangle \subseteq G}$ nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.

Grupy wolne

Podgrupa Frattiniego

Element ${\displaystyle x}$ grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór ${\displaystyle S}$ zawierający ${\displaystyle x}$ dalej generuje ${\displaystyle G,}$ jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest ${\displaystyle 0.}$ Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w ${\displaystyle G}$ nazywaną podgrupą Frattiniego.

Przykłady

Grupa elementów odwracalnych ${\displaystyle \operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9})}$ to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z ${\displaystyle 9}$ względem mnożenia modulo ${\displaystyle 9,}$ tzn. liczb ze zbioru ${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$ z arytmetyką modulo ${\displaystyle 9.}$ Siódemka nie jest generatorem ${\displaystyle \operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9}),}$ gdyż

${\displaystyle \{7^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$

podczas gdy dwójka jest, ponieważ

${\displaystyle \{2^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$

Z drugiej strony, dla ${\displaystyle n>2}$ grupa symetryczna stopnia ${\displaystyle n}$ nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje ${\displaystyle (1\ 2)}$ oraz ${\displaystyle (1\ 2\ \dots \ n).}$ Przykładowo dla ${\displaystyle S_{3}}$ jest:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=(1\ 2)(1\ 2),\\(1\ 2)&=(1\ 2),\\(1\ 3)&=(1\ 2\ 3)(1\ 2),\\(2\ 3)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3),\\(1\ 2\ 3)&=(1\ 2\ 3),\\(1\ 3\ 2)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2).\end{aligned}}}$

Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, ${\displaystyle 1.}$ Element ${\displaystyle 2}$ nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy ${\displaystyle \{3,5\}}$ dla odmiany generuje tę grupę, gdyż ${\displaystyle (-5)+3+3=1}$ (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).

Zobacz też

• graf Cayleya
• zbiór generatorów dla innych struktur
• prezentacja grupy

Uwagi

1. Niech ${\displaystyle H}$ będzie najmniejszą podgrupą zawierającą ${\displaystyle S,}$ zaś ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ oznacza zbiór podgrup zawierających ${\displaystyle S.}$ Wówczas ${\displaystyle H=\textstyle \bigcap {\mathcal {S}}.}$ Istotnie, ${\displaystyle H}$ jest podgrupą zawierającą ${\displaystyle S,}$ czyli ${\displaystyle H\in {\mathcal {S}},}$ a więc ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq H;}$ z drugiej strony część wspólna rodziny podgrup jest podgrupą, czyli ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}}$ jest podgrupą zawierającą ${\displaystyle S,}$ a skoro ${\displaystyle H}$ jest najmniejszą podgrupą zawierającą ${\displaystyle S,}$ to ${\displaystyle H\subseteq \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}.}$
2. Niech ${\displaystyle H}$ będzie najmniejszą podgrupą zawierającą ${\displaystyle S.}$ Jako podgrupa ${\displaystyle H}$ musi zawierać (wprost z definicji) wraz z każdym ${\displaystyle s\in S}$ także ${\displaystyle s^{-1}\in S,}$ a ponadto wszystkie skończone iloczyny elementów ${\displaystyle S}$ (i należące do tego zbioru odwrotności). Z drugiej strony, na mocy kryterium bycia podgrupą, skończone iloczyny elementów ${\displaystyle S}$ i ich odwrotności są podgrupą w ${\displaystyle G,}$ gdyż (a) dla ${\displaystyle x,y}$ będącymi takimi iloczynami wynika, że ich iloczyn ${\displaystyle xy}$ również jest tej postaci, (b) dla ${\displaystyle x=s_{1}s_{2}\dots s_{n}}$ będącego skończonym iloczynem elementów ${\displaystyle S}$ i ich odwrotności element ${\displaystyle x^{-1}=(s_{1}s_{2}\dots s_{n})^{-1}=s_{n}^{-1}s_{n-1}^{-1}\dots s_{1}^{-1}}$ jest także skończonym iloczynem elementów ${\displaystyle S}$ i ich odwrotności.

Bibliografia

• Serge Lang: Algebra. Wyd. trzecie popr. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. MR1878556. ISBN 978-0-387-95385-4. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Group Generators, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).