Struktury będące grupami – np. dodatnie liczby wymierne z mnożeniem – rozważano już w starożytności, jednak badania tych grup, którym ta dziedzina poświęca szczególną uwagę, zaczęły się wieki później. W I połowie XIX wieku Évariste Galois wprowadził ten termin w kontekście permutacji i zastosował grupy do badań wielomianów. Późniejsi uczeni znaleźli zastosowania grup do innych dziedzin matematyki, np.:
Ludzkość przez stulecia wprowadzała do rozważań różne struktury algebraiczne, które potem sklasyfikowano jako grupy; pierwszym przykładem mogą być dodatnie liczby wymierne z działaniem mnożenia. Własności pewnych działań na iloczynach jak potęgowanie naturalne i odwracanie – początkowo rozważane osobno od potęgowania – mówią, że funkcje te są automorfizmami tej grupy.
W Europie nowożytnej zaakceptowano w pełni liczby ujemne, przez co w dyskursie pojawiły się inne przykłady struktur nazwanych potem grupami jak:
wszystkie niezerowe liczby rzeczywiste z działaniem mnożenia;
wszystkie liczby rzeczywiste z działaniem dodawania.
Pewne prawidła arytmetyki z późniejszej perspektywy opisują homomorfizmy tych grup:
rozdzielność mnożenia względem dodawania mówi, że mnożenie jest automorfizmem grup addytywnych;
własność mnożenia potęg o równych podstawach (axay = ax+y) oznacza, że funkcje wykładnicze to izomorfizm grup addytywnych z grupami mnożeniowymi;
wartość bezwzględna spełnia tożsamość: |ab| = |a||b|. To homomorfizm grupy multyplikatywnej niezerowych liczb rzeczywistych z liczbami dodatnimi; przez zawieranie (inkluzję) jest to przykład endomorfizmu. Warto tu zaznaczyć, że pojęcie modułu liczby zostało rozpowszechnione później, w XIX wieku[potrzebny przypis];
funkcja znaku (łac.signum) ma analogiczną właściwość: sgn(ab) = sgn(a)·sgn(b). To podobny homomorfizm wspomnianej grupy niezerowych liczb rzeczywistych z dwuelementową grupą {-1,1} – drugą grupą cykliczną.
XVI-wieczne Włochy to też początek badań nad liczbami zespolonymi, które są grupą addytywną, przy wyłączeniu zera – grupą multyplikatywną, a ponadto:
istnieje izomorfizm między mnożeniem na zespolonym okręgu jednostkowym a dodawaniem liczb na prostej rzeczywistej;
zespolone pierwiastki z jedynki tworzą skończone grupy cykliczne.
W XVII wieku John Napier opisał logarytmy. Okazały się użyteczne obliczeniowo dzięki własności, która opisuje izomorfizm między grupą mnożeniową dodatnich liczb rzeczywistych a grupą addytywną wszystkich liczb rzeczywistych. To samo stulecie to też narodziny ogólnego pojęcia funkcji w pracach Gottfrieda Wilhelma Leibniza[potrzebny przypis]; bez rozważań funkcji nie byłoby:
dalszych, kluczowych przykładów grup jak grupy permutacji i innych przekształceń;
ogólnej definicji działania algebraicznego;
innych podstawowych pojęć algebry abstrakcyjnej jak homomorfizm.
Można powiedzieć, że w XVIII wieku ludzkość znała:
dwie przemienne grupy liczbowe – liczby zespolone z dodawaniem i te niezerowe z mnożeniem – a przy tym:
część ich podgrup, np. liczby rzeczywiste, konstruowalne, wymierne i całkowite z odpowiednimi działaniami;
niektóre homomorfizmy tych podgrup, w tym podstawowe izomorfizmy, endomorfizmy i automorfizmy;
pewne przekształcenia prostej rzeczywistej wykraczające poza izometrie: funkcje afiniczne opisane równaniami liniowymi oraz bardziej ogólne homografie, przy czym nazewnictwo jest tu późniejsze.
W 1830 roku problem ten przeanalizował głębiej Évariste Galois. Wprowadzając pojęcie grupy rozwiązalnej, podał warunek równoważny na rozwiązalność równania wielomianowego przez pierwiastniki. Doniosłości jego prac początkowo nie doceniono, ale kilkanaście lat po jego śmierci teorię Galois zaczęto wykładać i rozwijać. To właśnie on jako pierwszy użył nazwy „grupa” (fr.groupe), odnosząc ją do wspominanych grup permutacji (zob. działanie grupy na zbiorze). W 1854 roku Arthur Cayley uogólnił je, definiując abstrakcyjne grupy przez aksjomaty[4].
Od XIX wieku w rozważaniach matematycznych pojawiły się nowe przykłady grup oraz zastosowania dla ich ogólnej teorii.
W XIX wieku analiza matematyczna zaczęła definiować nowe obiekty tworzące grupy jak ciągi zbieżne, ciągi zbieżne do zera, ciągi sumowalne, funkcje ciągłe, różniczkowalne, regularne, gładkie, analityczne czy całkowalne (przestrzenie Lp i Sobolewa). Z drugiej strony teoria grup nie poświęca im zbyt wiele uwagi, a badania tych obiektów nie korzystają z twierdzeń teorii grup[potrzebny przypis].
Pod koniec XIX wieku zaczęto rozważać liczby n-adyczne tworzące grupy addytywne, a należące do nich liczby p-adyczne różne od zera dodatkowo tworzą grupy mnożeniowe. Wiek XX przyniósł dalsze typy liczb tworzące grupy jak liczby hiperrzeczywiste i nadrzeczywiste, przy czym te ostatnie są klasą właściwą, wymykając się standardowej definicji grupy jako rodzaju zbioru.
W II połowie XX wieku wynaleziono kostkę Rubika, której różne ustawienia tworzą grupę. Została przebadana przez matematyków, m.in. opisano jej rząd (moc), a przy pomocy komputera także średnicę, czasem zwaną boską liczbą[potrzebny przypis].
Powiązane dziedziny
Zawężając listę aksjomatów, grupy można uogólnić na inne struktury z jednym działaniem jak monoidy, półgrupy, magmy czasem zwane grupoidami, małe kategorie i ich szczególne przypadki, również zwane grupoidami. Innym uogólnieniem grup są grupy kwantowe[5].
Z drugiej strony grupy przemienne można wzbogacić o dodatkowe działania jak:
Joseph Louis Lagrange (1736–1813) – autor metody systematycznego wyprowadzania wzorów na miejsca zerowe wielomianów (rezolwenta); pionier użycia permutacji w algebrze;
Paolo Ruffini (1765–1822) – współautor pierwszego dowodu nierozwiązywalności ogólnego równania 5. stopnia przez pierwiastniki;
Niels Henrik Abel (1802–1829) – drugi, niezależny współautor twierdzenia Abela-Ruffiniego o wielomianach 5. stopnia;
Évariste Galois (1811–1832) – autor kompletnej teorii rozwiązywalności wielomianów przez pierwiastniki; pionier teorii grup, teorii ciał i łączącej je teorii Galois;
Arthur Cayley (1821–1895) – autor twierdzenia Cayleya o tym, że grupy w sensie aksjomatycznym sprowadzają się do grup przekształceń;
Richard Dedekind (1831–1916) – teoretyk grup, pierścieni i krat;
Peter Sylow (1832–1918) – teoretyk grup skończonych;
John Griggs Thompson (1932–) – współautor kluczowego twierdzenia o rozwiązalności grup skończonych;
Uwagi
↑Przykładowo, jeśli wybór chwili początkowej jest nieistotny (tzn. czas jest jednorodny), to w takiej sytuacji zachowywana jest energia; jeśli nieistotny jest wybór początkuukładu współrzędnych (tzn. przestrzeń jest jednorodna), to zachowane są składowe wektora pędu; jeżeli nieistotna jest orientacja osi układu współrzędnych (tzn. przestrzeń jest izotropowa), to w układzie zachowany jest moment pędu.