Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych[a] oraz pierwiastków[1] stopni naturalnych[potrzebny przypis].
Pierwiastnikiem względem liczb
oraz
jest np.
Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.
Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)
Liczbę zespoloną
można przedstawić za pomocą pierwiastników[2], jeśli istnieją liczby zespolone
oraz liczby naturalne
takie, że kładąc
(ciało liczb wymiernych),
(rozszerzenie ciała
o element
) dla ![{\displaystyle i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f269b2f3b2f87fec0168426652a5ea80b56112)
będziemy mieli
dla wszystkich
oraz ![{\displaystyle z\in K_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44b253880f48cc0ccf60b2f374dda8eda71bcc0)
Liczbę
nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.
Jeśli powyżej zastąpimy
przez pewne ciało
to otrzymamy definicję przedstawialności liczby
w pierwiastnikach nad ciałem
Jeśli
to powiemy, że
jest przedstawialna w pierwiastnikach względem
.
Definicja 2 (ogólniejsza)
Niech
będzie ciałem o charakterystyce 0. Element
jest pierwiastnikowy względem ciała
(albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała
), gdy istnieje ciąg ciał
oraz
dla których zachodzi warunek:
- dla
ciało
jest ciałem rozkładu wielomianu postaci ![{\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae1ebae3420bf9b2715992630f186242675887e)
Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała
oznacza się zwykle przez
i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała
[3].
Jeśli
jest ciałem charakterystyki
to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:
- dla
ciało
jest ciałem rozkładu wielomianu postaci
gdzie
albo wielomianu postaci
[3].
Własności
- Zbiór
jest ciałem[4].
- Każdy element pierwiastnikowy względem
należy do
[4].
- Jeśli
oraz równanie
![{\displaystyle z^{3}+pz+q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddd319eaae1c872654f64c88d22c2a1d924bfd2)
- nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.
- Jeżeli
i
są liczbami pierwszymi, to równanie
nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem
[5].
Znaczenie i użycie
Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).
Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała
(Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki[6].
Uwagi
- ↑ A więc także potęgi o wykładnikach naturalnych jako wielokrotne mnożenie.
Przypisy
Bibliografia