Rachunek zdań jest sztucznym, bardzo uproszczonym, językiem, który umożliwia obejście wielu problemów związanych z potocznym językiem np. dwuznaczność słów. W rachunku zdań istotnymi pojęciami są pojęcia składni i semantyki. Składnia odpowiada na pytania z jakich podstawowych znaków składa się język oraz jak stworzyć bardziej skomplikowane wyrażenia, a w szczególności zdania, za pomocą podstawowych znaków. Z kolei pojęcie semantyki zajmuje się kwestią znaczenia podstawowych znaków języka. Semantyka odpowiada również na pytanie odnośnie do znaczenia wyrażeń złożonych z podstawowych znaków, w szczególności spełnienia warunków, aby zdanie mogło być prawdziwe[2].
W klasycznym rachunku zdań przyjmuje się założenie, że każdemu zdaniu można przypisać jedną z dwu wartości logicznych – prawdę lub fałsz, które umownie przyjęto oznaczać odpowiednio 1 lub 0. Klasyczny rachunek zdań jest więc dwuwartościowym rachunkiem zdań.
W rachunku zdań treść rozpatrywanych zdań nie ma znaczenia, istotna jest jedynie ich wartość logiczna. Wartość logiczną zdań złożonych powstałych przez zastosowanie funktorów zdaniotwórczych określa funkcja prawdy, związana z każdym funktorem zdaniotwórczym. Wartość ta zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych, a nie zależy od ich treści. Szczególną rolę w rachunku zdań odgrywają takie zdania złożone, dla których wartość logiczna jest równa 1, niezależnie od tego, jakie wartości logiczne mają zdania proste, z których się składają. Takie zdania nazywa się prawami rachunku zdań lub tautologiami.
Początki
Zalążki klasycznego rachunku zdań odnaleźć można już w filozofii starożytnej. Rachunkiem zdań zajmowano się również w średniowieczu. Współczesne, sformalizowane oraz pełne ujęcie rachunku zdań po raz pierwszy podał w 1879 roku logik niemiecki Gottlob Frege. Niemałą rolę w dalszym rozwoju rachunku zdań odegrali matematycy polscy, a wśród nich głównie Jan Łukasiewicz i Alfred Tarski.
Metajęzyk i język obiektowy
Należy rozróżniać stosowanie wyrażenia od mówienia o nim[2]. Język staje się językiem obiektowym, gdy o nim mówimy. Aby mówić o języku potrzebujemy również języka, w którym to robimy. Ów język nazywamy metajęzykiem. W tym wypadku metajęzykiem jest język polski.
Zatem: Największe miasto Anglii jest dużym miastem.
Londyn ma sześć liter.
Największe miasto Anglii ma więcej niż sześć liter.
Zatem: Londyn nie jest największym miastem Anglii.
Obydwa przykłady na pierwszy rzut oka wydają się być poprawne. Z drugiej strony wydają się brzmieć dziwnie. Należy zatem rozróżnić między miastem Londyn i wyrażeniem ‘Londyn’. Aby mówić o wyrażeniu należy to zaznaczyć np. poprzez skorzystanie z apostrofów. Drugi przykład powinien wyglądać zatem następująco.
‘Londyn’ ma sześć liter.
‘Największe miasto Anglii’ ma więcej niż sześć liter.
Zatem: ‘Londyn’ nie jest ‘największym miastem Anglii’.
Gdy mówimy „Londyn jest dużym miastem”, stosujemy zwrot ‘Londyn’, aby powiedzieć coś o mieście. Z kolei gdy używamy zwrotu „‘Londyn’ ma sześć liter”, to mówimy o wyrażeniu ‘Londyn’.
Definicja: jest wtedy i tylko wtedy zdaniem rachunku zdań, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków
1) jest zmienną zdaniową
2) i są zdaniami rachunku zdań i jest równe lub
Zasada opuszczania nawiasów
Zewnętrzne nawiasy mogą zostać opuszczone.
' i '' wiążą mocniej niż '' i ''.
Definicja wyrażenia sensownego KRZ
Wyrażeniem sensownym KRZ lub formułą KRZ, nazywamy taki i tylko taki skończony ciąg symboli alfabetu KRZ, który jest zbudowany zgodnie z następującymi regułami:
