Arytmetyka liczb porządkowych
Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.
Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe.
Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych , choć można dostrzec między nimi pewne analogie.
Definicje
Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe : dodawanie , mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik); poniżej przedstawiono oba podejścia.
Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne
Operacje „+” i „·” na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych .
Przypuśćmy, że
A
=
(
A
,
⩽ ⩽ -->
A
)
{\displaystyle \mathbf {A} =(A,\leqslant _{A})}
oraz
B
=
(
B
,
⩽ ⩽ -->
B
)
{\displaystyle \mathbf {B} =(B,\leqslant _{B})}
są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory
A
{\displaystyle A}
i
B
{\displaystyle B}
są rozłączne . Określamy:
A
+
B
=
(
A
∪ ∪ -->
B
,
⊑ ⊑ -->
+
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =(A\cup B,\sqsubseteq ^{+}),}
gdzie
⊑ ⊑ -->
+
{\displaystyle \sqsubseteq ^{+}}
jest relacją binarną na
A
∪ ∪ -->
B
{\displaystyle A\cup B}
zdefiniowaną przez
x
⊑ ⊑ -->
+
y
{\displaystyle x\sqsubseteq ^{+}y}
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
x
,
y
∈ ∈ -->
A
∪ ∪ -->
B
)
{\displaystyle (x,y\in A\cup B)}
oraz
x
,
y
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle x,y\in A}
i
x
⩽ ⩽ -->
A
y
{\displaystyle x\leqslant _{A}y\;{}}
lub
x
,
y
∈ ∈ -->
B
{\displaystyle x,y\in B}
i
x
⩽ ⩽ -->
B
y
{\displaystyle x\leqslant _{B}y\;{}}
lub
x
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle x\in A}
i
y
∈ ∈ -->
B
.
{\displaystyle y\in B.}
A
⋅ ⋅ -->
B
=
(
A
× × -->
B
,
⊑ ⊑ -->
∘ ∘ -->
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\mathbf {B} }=(A\times B,\sqsubseteq ^{\circ }),}
gdzie
⊑ ⊑ -->
∘ ∘ -->
{\displaystyle \sqsubseteq ^{\circ }}
jest relacją binarną na produkcie
A
× × -->
B
{\displaystyle A\times B}
zdefiniowaną przez
(
a
1
,
b
1
)
⊑ ⊑ -->
∘ ∘ -->
(
a
2
,
b
2
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1})\sqsubseteq ^{\circ }(a_{2},b_{2})}
wtedy i tylko wtedy, gdy (
a
1
,
a
2
∈ ∈ -->
A
,
{\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,}
b
1
,
b
1
∈ ∈ -->
B
{\displaystyle b_{1},b_{1}\in B}
) oraz
b
1
<
B
b
2
{\displaystyle b_{1}<_{B}b_{2}\;{}}
lub
b
1
=
b
2
{\displaystyle b_{1}=b_{2}}
i
a
1
⩽ ⩽ -->
A
a
2
.
{\displaystyle a_{1}\leqslant _{A}a_{2}.}
Można wykazać, że zarówno
A
+
B
,
{\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} ,}
jak i
A
⋅ ⋅ -->
B
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }
są dobrymi porządkami.
Liczba porządkowa
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
:
{\displaystyle \omega \cdot \omega {:}}
każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
{\displaystyle \omega \cdot \omega }
– kreski te odpowiadają liczbom postaci
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
m
+
n
{\displaystyle \omega \cdot m+n}
gdzie
m
{\displaystyle m}
i
n
{\displaystyle n}
są liczbami naturalnymi.
Dla liczb porządkowych
α α -->
,
β β -->
{\displaystyle \alpha ,\beta }
określamy
sumę
α α -->
+
β β -->
{\displaystyle \alpha +\beta }
jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym
A
+
B
,
{\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} ,}
gdzie
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }
są rozłącznymi kopiami
α α -->
{\displaystyle \alpha }
i
β β -->
,
{\displaystyle \beta ,}
odpowiednio;
iloczyn
α α -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
{\displaystyle \alpha \cdot \beta }
jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym
A
⋅ ⋅ -->
B
,
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,}
gdzie
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }
są kopiami
α α -->
{\displaystyle \alpha }
i
β β -->
,
{\displaystyle \beta ,}
odpowiednio.
Definicje indukcyjne
Dodawanie : przez indukcję po liczbach porządkowych
β β -->
,
{\displaystyle \beta ,}
dla każdej liczby porządkowej
α α -->
,
{\displaystyle \alpha ,}
definiujemy
α α -->
+
β β -->
{\displaystyle \alpha +\beta }
w sposób następujący:
α α -->
+
0
=
α α -->
,
{\displaystyle \alpha +0=\alpha ,}
α α -->
+
1
=
α α -->
∪ ∪ -->
{
α α -->
}
{\displaystyle \alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}}
jest następnikiem porządkowym liczby
α α -->
,
{\displaystyle \alpha ,}
α α -->
+
(
β β -->
+
1
)
=
(
α α -->
+
β β -->
)
+
1
,
{\displaystyle \alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1,}
jeśli
β β -->
{\displaystyle \beta }
jest liczbą graniczną , to
α α -->
+
β β -->
=
lim
γ γ -->
<
β β -->
(
α α -->
+
γ γ -->
)
.
{\displaystyle \alpha +\beta =\lim \limits _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma ).}
Mnożenie : przez indukcję po liczbach porządkowych
β β -->
,
{\displaystyle \beta ,}
dla każdej liczby porządkowej
α α -->
,
{\displaystyle \alpha ,}
definiujemy
α α -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
{\displaystyle \alpha \cdot \beta }
w sposób następujący:
α α -->
⋅ ⋅ -->
0
=
0
,
{\displaystyle \alpha \cdot 0=0,}
α α -->
⋅ ⋅ -->
(
β β -->
+
1
)
=
α α -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
+
α α -->
,
{\displaystyle \alpha \cdot (\beta +1)=\alpha \cdot \beta +\alpha ,}
jeśli
β β -->
{\displaystyle \beta }
jest liczbą graniczną, to
α α -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
=
lim
γ γ -->
<
β β -->
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
)
.
{\displaystyle \alpha \cdot \beta =\lim \limits _{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma ).}
Potęgowanie : przez indukcję po liczbach porządkowych
β β -->
,
{\displaystyle \beta ,}
dla każdej liczby porządkowej
α α -->
,
{\displaystyle \alpha ,}
definiujemy
α α -->
β β -->
{\displaystyle \alpha ^{\beta }}
w sposób następujący:
α α -->
0
=
1
,
{\displaystyle \alpha ^{0}=1,}
α α -->
β β -->
+
1
=
α α -->
β β -->
⋅ ⋅ -->
α α -->
,
{\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ,}
jeśli
β β -->
{\displaystyle \beta }
jest liczbą graniczną, to
α α -->
β β -->
=
lim
γ γ -->
<
β β -->
α α -->
γ γ -->
.
{\displaystyle \alpha ^{\beta }=\lim \limits _{\gamma <\beta }\alpha ^{\gamma }.}
Podstawowe własności
Pewne własności „zwykłych” działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych
α α -->
,
β β -->
,
γ γ -->
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
prawdziwe są następujące równości:
(
α α -->
+
β β -->
)
+
γ γ -->
=
α α -->
+
(
β β -->
+
γ γ -->
)
{\displaystyle (\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )}
oraz
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
)
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
=
α α -->
⋅ ⋅ -->
(
β β -->
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
)
,
{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma ),}
α α -->
+
0
=
0
+
α α -->
=
α α -->
,
{\displaystyle \alpha +0=0+\alpha =\alpha ,}
α α -->
⋅ ⋅ -->
0
=
0
⋅ ⋅ -->
α α -->
=
0
{\displaystyle \alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0}
oraz
α α -->
⋅ ⋅ -->
1
=
1
⋅ ⋅ -->
α α -->
=
α α -->
,
{\displaystyle \alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha ,}
α α -->
⋅ ⋅ -->
(
β β -->
+
γ γ -->
)
=
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
β β -->
)
+
(
α α -->
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
)
,
{\displaystyle \alpha \cdot (\beta +\gamma )=(\alpha \cdot \beta )+(\alpha \cdot \gamma ),}
γ γ -->
α α -->
+
β β -->
=
γ γ -->
α α -->
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
β β -->
{\displaystyle \gamma ^{\alpha +\beta }=\gamma ^{\alpha }\cdot \gamma ^{\beta }}
oraz
(
β β -->
α α -->
)
γ γ -->
=
β β -->
α α -->
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
,
{\displaystyle (\beta ^{\alpha })^{\gamma }=\beta ^{\alpha \cdot \gamma },}
α α -->
0
=
1
{\displaystyle \alpha ^{0}=1}
oraz
α α -->
≠ ≠ -->
0
⟹ ⟹ -->
0
α α -->
=
0
,
{\displaystyle \alpha \neq 0\implies 0^{\alpha }=0,}
α α -->
1
=
α α -->
{\displaystyle \alpha ^{1}=\alpha }
oraz
1
α α -->
=
1.
{\displaystyle 1^{\alpha }=1.}
Przykłady
Przypomnijmy, że
ω ω -->
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
… … -->
}
{\displaystyle \omega =\{0,1,2,3,\dots \}}
jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.
Ani dodawanie, ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne , gdyż na przykład:
888
+
ω ω -->
=
ω ω -->
<
ω ω -->
+
888
{\displaystyle 888+\omega =\omega <\omega +888}
oraz
888
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
=
ω ω -->
<
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
888
{\displaystyle 888\cdot \omega =\omega <\omega \cdot 888}
Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania na ogół nie zachodzi:
(
ω ω -->
+
888
)
⋅ ⋅ -->
2
=
(
ω ω -->
+
888
)
+
(
ω ω -->
+
888
)
=
ω ω -->
+
ω ω -->
+
888
,
{\displaystyle (\omega +888)\cdot 2=(\omega +888)+(\omega +888)=\omega +\omega +888,}
ale
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
2
+
888
⋅ ⋅ -->
2
=
ω ω -->
+
ω ω -->
+
1776
≠ ≠ -->
ω ω -->
+
ω ω -->
+
888
,
{\displaystyle \omega \cdot 2+888\cdot 2=\omega +\omega +1776\neq \omega +\omega +888,}
(
ω ω -->
+
ω ω -->
)
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
=
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
,
{\displaystyle (\omega +\omega )\cdot \omega =\omega \cdot \omega ,}
(
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
2
)
2
=
(
ω ω -->
+
ω ω -->
)
⋅ ⋅ -->
(
ω ω -->
+
ω ω -->
)
=
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
+
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
<
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
+
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
+
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
+
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
=
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
4
=
ω ω -->
2
⋅ ⋅ -->
2
2
,
{\displaystyle (\omega \cdot 2)^{2}=(\omega +\omega )\cdot (\omega +\omega )=\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega <\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega =\omega \cdot \omega \cdot 4=\omega ^{2}\cdot 2^{2},}
2
ω ω -->
=
lim
n
<
ω ω -->
2
n
=
ω ω -->
,
{\displaystyle 2^{\omega }=\lim \limits _{n<\omega }2^{n}=\omega ,}
Więcej własności
Niech
α α -->
,
β β -->
{\displaystyle \alpha ,\beta }
będą liczbami porządkowymi,
α α -->
>
0.
{\displaystyle \alpha >0.}
Wówczas liczba
β β -->
{\displaystyle \beta }
ma jednoznaczne przedstawienie postaci
β β -->
=
α α -->
⋅ ⋅ -->
γ γ -->
+
δ δ -->
{\displaystyle \beta =\alpha \cdot \gamma +\delta }
gdzie
γ γ -->
,
δ δ -->
{\displaystyle \gamma ,\delta }
są liczbami porządkowymi i
0
⩽ ⩽ -->
δ δ -->
<
α α -->
.
{\displaystyle 0\leqslant \delta <\alpha .}
Twierdzenie Cantora o postaci normalnej : Każda niezerowa liczba porządkowa
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
może być przedstawiona jednoznacznie w postaci
α α -->
=
ω ω -->
β β -->
1
⋅ ⋅ -->
m
1
+
ω ω -->
β β -->
2
⋅ ⋅ -->
m
2
+
… … -->
+
ω ω -->
β β -->
n
⋅ ⋅ -->
m
n
{\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}\cdot m_{1}+\omega ^{\beta _{2}}\cdot m_{2}+\ldots +\omega ^{\beta _{n}}\cdot m_{n}}
dla pewnych liczb naturalnych
n
⩾ ⩾ -->
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
oraz
m
1
,
… … -->
,
m
n
>
0
{\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}>0}
oraz liczb porządkowych
β β -->
1
,
… … -->
,
β β -->
n
{\displaystyle \beta _{1},\dots ,\beta _{n}}
spełniających warunek
β β -->
n
<
β β -->
n
− − -->
1
<
… … -->
<
β β -->
1
⩽ ⩽ -->
α α -->
.
{\displaystyle \beta _{n}<\beta _{n-1}<\ldots <\beta _{1}\leqslant \alpha .}
Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość
ω ω -->
α α -->
=
α α -->
{\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }
były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi ; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest
ε ε -->
0
=
sup
{
ω ω -->
ω ω -->
,
ω ω -->
ω ω -->
ω ω -->
,
ω ω -->
ω ω -->
ω ω -->
ω ω -->
,
… … -->
}
.
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}.}
(a)
β β -->
+
ε ε -->
=
ε ε -->
{\displaystyle \beta +\varepsilon =\varepsilon }
dla każdej liczby
β β -->
<
ε ε -->
,
{\displaystyle \beta <\varepsilon ,}
(b)
β β -->
⋅ ⋅ -->
ε ε -->
=
ε ε -->
{\displaystyle \beta \cdot \varepsilon =\varepsilon }
dla każdej liczby
1
⩽ ⩽ -->
β β -->
<
ε ε -->
,
{\displaystyle 1\leqslant \beta <\varepsilon ,}
(c)
β β -->
ε ε -->
=
ε ε -->
{\displaystyle \beta ^{\varepsilon }=\varepsilon }
dla każdej liczby
2
⩽ ⩽ -->
β β -->
<
ε ε -->
.
{\displaystyle 2\leqslant \beta <\varepsilon .}
Zastosowania
Dowód twierdzenia Goodsteina używa cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż
ε ε -->
0
.
{\displaystyle \varepsilon _{0}.}
Operacje naturalne
W 1906 roku niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg [1] wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt . Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga , odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy, traktując te rozwinięcia jak formalne wielomiany zmiennej
ω ω -->
.
{\displaystyle \omega .}
Niech
α α -->
{\displaystyle \alpha }
i
β β -->
{\displaystyle \beta }
będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne
n
⩾ ⩾ -->
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
oraz
m
1
,
… … -->
,
m
n
,
k
1
,
… … -->
,
k
n
{\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n},k_{1},\dots ,k_{n}}
oraz liczby porządkowe
ξ ξ -->
n
<
ξ ξ -->
n
− − -->
1
<
… … -->
<
ξ ξ -->
1
{\displaystyle \xi _{n}<\xi _{n-1}<\ldots <\xi _{1}}
takie, że
α α -->
=
ω ω -->
ξ ξ -->
1
⋅ ⋅ -->
m
1
+
ω ω -->
ξ ξ -->
2
⋅ ⋅ -->
m
2
+
… … -->
+
ω ω -->
ξ ξ -->
n
⋅ ⋅ -->
m
n
{\displaystyle \alpha =\omega ^{\xi _{1}}\cdot m_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot m_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot m_{n}}
oraz
β β -->
=
ω ω -->
ξ ξ -->
1
⋅ ⋅ -->
k
1
+
ω ω -->
ξ ξ -->
2
⋅ ⋅ -->
k
2
+
… … -->
+
ω ω -->
ξ ξ -->
n
⋅ ⋅ -->
k
n
.
{\displaystyle \beta =\omega ^{\xi _{1}}\cdot k_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot k_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot k_{n}.}
Określamy teraz sumę naturalną
α α -->
(
+
)
β β -->
{\displaystyle \alpha (+)\beta }
przez
α α -->
⊕ ⊕ -->
β β -->
=
ω ω -->
ξ ξ -->
1
⋅ ⋅ -->
(
k
1
+
m
1
)
+
ω ω -->
ξ ξ -->
2
⋅ ⋅ -->
(
k
2
+
m
2
)
+
… … -->
+
ω ω -->
ξ ξ -->
n
⋅ ⋅ -->
(
k
n
+
m
n
)
.
{\displaystyle \alpha \oplus \beta =\omega ^{\xi _{1}}\cdot (k_{1}+m_{1})+\omega ^{\xi _{2}}\cdot (k_{2}+m_{2})+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot (k_{n}+m_{n}).}
Definicja produktu naturalnego
α α -->
⊙ ⊙ -->
β β -->
{\displaystyle \alpha \odot \beta }
jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia
ω ω -->
ξ ξ -->
1
⋅ ⋅ -->
m
1
+
ω ω -->
ξ ξ -->
2
⋅ ⋅ -->
m
2
+
… … -->
+
ω ω -->
ξ ξ -->
n
⋅ ⋅ -->
m
n
{\displaystyle \omega ^{\xi _{1}}\cdot m_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot m_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot m_{n}}
i
ω ω -->
ξ ξ -->
1
⋅ ⋅ -->
k
1
+
ω ω -->
ξ ξ -->
2
⋅ ⋅ -->
k
2
+
… … -->
+
ω ω -->
ξ ξ -->
n
⋅ ⋅ -->
k
n
{\displaystyle \omega ^{\xi _{1}}\cdot k_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot k_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot k_{n}}
jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych
1
⩽ ⩽ -->
i
,
j
⩽ ⩽ -->
n
{\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n}
rozważamy liczbę
ω ω -->
ξ ξ -->
i
⊕ ⊕ -->
ξ ξ -->
j
⋅ ⋅ -->
m
i
⋅ ⋅ -->
k
j
{\displaystyle \omega ^{\xi _{i}\oplus \xi _{j}}\cdot m_{i}\cdot k_{j}}
(zwróćmy uwagę, że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej ). Produkt naturalny
α α -->
⊙ ⊙ -->
β β -->
{\displaystyle \alpha \odot \beta }
jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci
ω ω -->
ξ ξ -->
i
⊕ ⊕ -->
ξ ξ -->
j
⋅ ⋅ -->
m
i
⋅ ⋅ -->
k
j
{\displaystyle \omega ^{\xi _{i}\oplus \xi _{j}}\cdot m_{i}\cdot k_{j}}
uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.
Obie operacje,
⊕ ⊕ -->
{\displaystyle \oplus }
i
⊙ ⊙ -->
,
{\displaystyle \odot ,}
są przemienne i łączne . Zauważmy, że
(
ω ω -->
+
1
)
+
(
ω ω -->
+
1
)
=
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
2
+
1
,
{\displaystyle (\omega +1)+(\omega +1)=\omega \cdot 2+1,}
ale
(
ω ω -->
+
1
)
⊕ ⊕ -->
(
ω ω -->
+
1
)
=
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
2
+
2
,
{\displaystyle (\omega +1)\oplus (\omega +1)=\omega \cdot 2+2,}
oraz
(
ω ω -->
+
1
)
⋅ ⋅ -->
(
ω ω -->
+
1
)
=
ω ω -->
2
+
ω ω -->
+
1
,
{\displaystyle (\omega +1)\cdot (\omega +1)=\omega ^{2}+\omega +1,}
ale
(
ω ω -->
+
1
)
⊙ ⊙ -->
(
ω ω -->
+
1
)
=
ω ω -->
2
+
ω ω -->
⋅ ⋅ -->
2
+
1.
{\displaystyle (\omega +1)\odot (\omega +1)=\omega ^{2}+\omega \cdot 2+1.}
Przykład zastosowania
W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił[2] , że jeżeli
X
{\displaystyle X}
i
Y
{\displaystyle Y}
są przestrzeniami regularnymi , to
ind
-->
X
× × -->
Y
⩽ ⩽ -->
(
ind
-->
X
⊕ ⊕ -->
ind
-->
Y
)
+
n
,
{\displaystyle \operatorname {ind} X\times Y\leqslant (\operatorname {ind} X\oplus \operatorname {ind} Y)+n,}
gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz
n
{\displaystyle n}
jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni
X
{\displaystyle X}
i
Y
.
{\displaystyle Y.}
Gary Brookfield udowodnił[3] , że jeżeli
R
{\displaystyle R}
jest pierścieniem noetherowskim , to
len
-->
R
[
x
]
=
ω ω -->
⊙ ⊙ -->
len
-->
R
,
{\displaystyle \operatorname {len} R[x]=\omega \odot \operatorname {len} R,}
gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia
R
,
{\displaystyle R,}
w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen[4] ).
Przypisy
↑ Hessenberg G.: Grundbegriffe der Mengenlehre , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1906.
↑ Toulmin G.H., Shuffling ordinals and transfinite dimension , Proc. London Math. Soc., 4 (1954), s. 177–195.
↑ Brookfield G., The Length of Noetherian Polynomial Rings . Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, s. 5591–5607. [1] .
↑ Gulliksen T.H., A Theory of Length for Noetherian Modules , J. of Pure and Appl., Algebra 1973, 3, s. 159–170.
Bibliografia
główne
dyscypliny z arytmetyką w nazwie
działy ogólne według trudności
według celu
inne
działy czyste działy stosowane powiązane zajęcia