Funkcja wykładnicza

Wykres przykładowej funkcji wykładniczej ${\displaystyle y=a^{x},}$ gdzie ${\displaystyle 0<a<1,}$ w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna^[1] – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:

• w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci ${\displaystyle f(x)=a^{x},}$ gdzie ${\displaystyle a>0}$^[2]. Liczba ${\displaystyle a}$ – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
• w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższy wzorem przy dodatkowym warunku ${\displaystyle a\neq 1}$ – wyklucza się przypadek ${\displaystyle a=1,}$ kiedy ten wzór daje funkcję stałą^[3][4][5].

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista ${\displaystyle (f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} )}$ lub płaszczyzna zespolona ${\displaystyle (f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ).}$ W pierwszym wypadku:

• zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})}$ – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry;
• funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla ${\displaystyle a>1}$ są rosnące, a dla ${\displaystyle 0<a<1}$ – malejące^[3];
• w związku z powyższymi faktami:
  • granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną^[4] – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących;
  • granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa;
• funkcje te są ciągłe^[3], a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji;
• wykresy takich funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych są znane jako krzywe wykładnicze^[6][4].

Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi^[7]. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych^[8]. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych^[9].

Własności

Algebraiczne

• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},}$
• ${\displaystyle a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}.}$

Analityczne

• Funkcja wykładnicza o podstawie ${\displaystyle a>1}$ jest (przy argumencie dążącym do ${\displaystyle +\infty }$) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

• Pochodna funkcji wykładniczej to:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a^{x})'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\\&=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\\&=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\\&=a^{x}\ln a;\end{aligned}}}$

dowód jest w artykule: logarytm naturalny.

W szczególności dla ${\displaystyle a=e}$ zachodzi:

${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}$

Eksponens

Wykres funkcji ${\displaystyle y=e^{x}=\exp x,}$ zwanej eksponensem, w kartezjańskim układzie współrzędnych; liczba ${\displaystyle e}$ to podstawa logarytmu naturalnego.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej ${\displaystyle e}$ – podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest ${\displaystyle \exp(x)}$ nazywane krótko eksponensem^[10].

Cechą funkcji ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

${\displaystyle {\dot {x}}=x}$

przy warunku początkowym

${\displaystyle x(0)=1}$

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Dziedzina zespolona

Wykres ${\displaystyle e^{z}}$ na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Jest to funkcja okresowa z okresem ${\displaystyle 2\pi i}$ i można ją zapisać jako:

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),}$

gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w},}$
• ${\displaystyle e^{0}=1,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0,}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},}$
• ${\displaystyle (e^{z})^{n}=e^{nz},\ n\in \mathbb {Z} }$

dla wszystkich ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle w.}$

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

Matematyka

• Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
• Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
• Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany.
• Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
• Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
• Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
• Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
• Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą.
• Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.

Fizyka

• Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
• Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu^[2]. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką.
• Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
• Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
• Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
• Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.

Inne nauki

• Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo.
• Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.

Zobacz też

Informacje w projektach siostrzanych

Multimedia w Wikimedia Commons

Teksty źródłowe w Wikiźródłach

Podręczniki w Wikibooks

• eksponenta macierzy
• homomorfizm

Przypisy

1. funkcja eksponencjalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30] .
2. Żakowski 1972 ↓, s. 80.
3. funkcja wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30] .
4. Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
5. Fichtenholz 1978 ↓, s. 87.
6. krzywa wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
7. Eulera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
8. funkcje elementarne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .
9. Zastosowanie funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11].
10. eksponens, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-04-11] .

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• Wojciech Żakowski: funkcja wykładnicza, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Funkcja wykładnicza – wykładniczy wzrost i zanik, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-04-11].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Natural Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].
• Exponential function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Kontrola autorytatywna (rodzaj funkcji matematycznej):

• GND: 4382956-9

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: topic/exponential-function
• Treccani: funzione-esponenziale
• DSDE: eksponentialfunktion