Hiperbola (matematyka)

Przykładowa hiperbola (kolor czerwony); zaznaczono też:
• ogniska (${\displaystyle F_{1},F_{2}}$),
• łączącą je oś symetrii (kolor niebieski),
• leżące na niej wierzchołki (${\displaystyle S_{1},S_{2}}$),
• asymptoty (kolor zielony),
• środek symetrii (${\displaystyle M}$)

Hiperbola (stgr. ὑπερβολή hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”^[1][2][3]) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby:

• definicja planimetryczna jest oparta na dwóch różnych, ustalonych punktach nazywanych ogniskami. Hiperbola to zbiór takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała^[1];
• hiperbola to taka krzywa stożkowa, dla której kąt między płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami^[1].

Równanie hiperboli

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ${\displaystyle (-c,0)}$ i ${\displaystyle (c,0),}$ to można ją opisać równaniem^[1]:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast ${\displaystyle b}$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}.}$

Jeżeli ${\displaystyle a=b,}$ to hiperbola nazywana jest równoosiową^[1].

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi^[1]:

${\displaystyle e={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}}>1.}$

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Obierając na hiperboli dowolny punkt ${\displaystyle P=(x,y),}$ przez ${\displaystyle r_{1}}$ oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez ${\displaystyle r_{2}}$ odległość pomiędzy punktem ${\displaystyle P}$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: ${\displaystyle r_{1}=a+ex,\ \ r_{2}=-a+ex,}$
• dla lewej gałęzi: ${\displaystyle r_{1}=-a-ex,\ \ r_{2}=a-ex.}$

Niech ${\displaystyle d_{1}}$ będzie odległością ustalonego punktu ${\displaystyle P}$ od lewej kierownicy, a ${\displaystyle d_{2},}$ odpowiednio – od prawej. Wówczas:

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{d_{1}}}={\frac {r_{2}}{d_{2}}}=e.}$

Powiązane linie proste

Hiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to^[1]:

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

${\displaystyle x=\pm {\frac {a}{e}}=\pm {\frac {a^{2}}{c}}.}$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie ${\displaystyle Q=(p,q)}$ hiperboli spełnia równanie

${\displaystyle {\frac {px}{a^{2}}}-{\frac {qy}{b^{2}}}=1.}$

Hiperbole sprzężone

Przykład hiperbol sprzężonych w kartezjańskim układzie współrzędnych

Hiperbolę o równaniu

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej^[1]. Hiperbole wzajemnie sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.

Zobacz też

• radionawigacja
• twierdzenie Pascala

Przypisy

Zobacz hasło hiperbola w Wikisłowniku

1. hiperbola, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .
2. Władysław Kopaliński: hiperbola. [w:] Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. slownik-online.pl. [dostęp 2018-07-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-02)].
3. Henry George Liddell, Robert Scott: ὑπερβολή. [w:] A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16]. (ang.).

Linki zewnętrzne

• Kazimierz Chomicz, Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, deltami.edu.pl [dostęp 2024-11-07] – praca nagrodzona brązowym medalem w 46. Konkursie Prac Uczniowskich z Matematyki, organizowanym przez „miesięcznik „Delta” i Polskie Towarzystwo Matematyczne.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbola, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Hyperbola (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kontrola autorytatywna (non-degenerate conic section):

• GND: 4161034-9
• NKC: ph973163

Encyklopedie internetowe:

• PWN: 3911804
• Britannica: topic/hyperbola