Krzywa drugiego stopnia – krzywa dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne
gdzie:
przy czym przynajmniej jeden ze współczynników musi być różny od zera.
W zależności od wartości współczynników krzywa może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.
Każda krzywa drugiego stopnia jest pewną krzywą stożkową.
Niezmienniki
Dla krzywej danej równaniem 2 stopnia poszczególne współczynniki zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych.
Jednak pewne wielkości zwane niezmiennikami są niezależne od wyboru ortonormalnego układu współrzędnych:
Klasyfikacja krzywych 2 stopnia
W oparciu o znaki niezmienników można przeprowadzić klasyfikację krzywych:
Wartości Δ, δ i S
|
krzywa
|
postać kanoniczna
|
uwagi
|
Krzywe środkowe
δ≠0
|
δ>0
|
Δ•S<0
|
elipsa rzeczywista
|
|
dla elipsa jest okręgiem
|
Δ•S>0
|
elipsa urojona
|
|
|
Δ=0
|
para prostych urojonych z jednym punktem rzeczywistym
|
|
|
δ<0
|
Δ≠0
|
hiperbola
|
|
|
Δ=0
|
para prostych przecinających się
|
|
|
Krzywe paraboliczne δ=0 S≠0
|
Δ≠0
|
parabola
|
|
|
Δ=0
|
|
para prostych równoległych
|
|
równoważnie można badać znak wyrażenia
|
|
para prostych pokrywających się
|
|
|
para prostych urojonych
|
|
Bibliografia
- I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.
- Marceli Stark: Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1972, s. 177–184.
Linki zewnętrzne