Wykresy polowych funkcji sinus, cosinus i tangens w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wykresy polowych funkcji cotangens, secans i cosecans w kartezjańskim układzie współrzędnych
Funkcje hiperboliczne odwrotne , funkcje polowe , funkcje area [1] , areafunkcje [2] [3] – funkcje odwrotne do hiperbolicznych [2] , definiowane też poniższymi wzorami:
Funkcje polowe czerpią nazwę stąd, że można nimi obliczać pola odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej
x
2
− − -->
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
[9] . Analogicznie funkcje kołowe (cyklometryczne, odwrotne do trygonometrycznych) są równe polom wycinków koła jednostkowego
x
2
+
y
2
=
1.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}
Funkcje polowe znajdują też zastosowanie poza geometrią i matematyką czystą , np. w fizyce i elektrotechnice ; przykładowo cosinus polowy pojawia się w jednym ze wzorów na pojemność elektryczną [9] .
Opis poszczególnych funkcji polowych
Area sinus
Area sinus hiperboliczny
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
Funkcja ta:
Area cosinus
Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej
Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia . Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa[6] :
arcosh
-->
x
=
± ± -->
ln
-->
(
x
+
x
2
− − -->
1
)
,
arcosh
1
-->
x
=
ln
-->
(
x
+
x
2
− − -->
1
)
,
arcosh
2
-->
x
=
− − -->
ln
-->
(
x
+
x
2
− − -->
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \ x&=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{1}\ x&=\ \ \ \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{2}\ x&=-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}).\end{aligned}}}
Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste , to ich dziedziną jest przedział
[
1
,
∞ ∞ -->
)
.
{\displaystyle [1,\infty ).}
Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.
Area tangens
Area tangens hiperboliczny
Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty
(
− − -->
1
,
1
)
.
{\displaystyle (-1,1).}
Funkcja ta:
Area cotangens
Area cotangens hiperboliczny
Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych :
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
− − -->
1
)
∪ ∪ -->
(
1
,
∞ ∞ -->
)
.
{\displaystyle (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).}
Funkcja ta:
Area secans
Area secans hiperboliczny
Dziedziną tej funkcji jest przedział
(
0
,
1
]
.
{\displaystyle (0,1].}
Funkcja ma asymptotę o równaniu
x
=
0.
{\displaystyle x=0.}
Area cosecans
Area cosecans hiperboliczny
Dziedziną tej funkcji jest
R
∖ ∖ -->
{
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}.}
Funkcja ma dwie asymptoty:
x
=
0
{\displaystyle x=0}
i
y
=
0.
{\displaystyle y=0.}
Funkcja polowa
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Funkcja pochodna
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
Przypisy
arsinh
-->
x
{\displaystyle \operatorname {arsinh} \ x}
1
x
2
+
1
=
(
1
+
x
2
)
− − -->
1
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}=(1+x^{2})^{-1/2}}
[10] [11]
arcosh
1
-->
x
{\displaystyle \operatorname {arcosh} _{1}\ x}
1
x
2
− − -->
1
=
(
x
2
− − -->
1
)
− − -->
1
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=(x^{2}-1)^{-1/2}}
[10] [11]
arcosh
2
-->
x
{\displaystyle \operatorname {arcosh} _{2}\ x}
− − -->
1
x
2
− − -->
1
=
− − -->
(
x
2
− − -->
1
)
− − -->
1
/
2
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-(x^{2}-1)^{-1/2}}
[10]
artgh
-->
x
{\displaystyle \operatorname {artgh} \ x}
1
1
− − -->
x
2
=
(
1
− − -->
x
2
)
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1}}
[10] [11]
arctgh
-->
x
{\displaystyle \operatorname {arctgh} \ x}
− − -->
1
1
− − -->
x
2
=
− − -->
(
1
− − -->
x
2
)
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {-1}{1-x^{2}}}=-(1-x^{2})^{-1}}
[11]
arsech
-->
x
{\displaystyle \operatorname {arsech} \ x}
− − -->
1
x
(
x
+
1
)
1
− − -->
x
1
+
x
{\displaystyle {\frac {-1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}
[12]
arcsch
-->
x
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \ x}
− − -->
1
x
2
1
+
1
x
2
{\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}
[13]
Związki z innymi funkcjami
∫ ∫ -->
d
x
x
2
+
1
=
arsinh
-->
x
+
C
=
=
ln
-->
(
x
+
x
2
+
1
)
+
C
∫ ∫ -->
d
x
x
2
− − -->
1
=
arcosh
-->
x
+
C
=
=
ln
-->
(
x
+
x
2
− − -->
1
)
+
C
∫ ∫ -->
x
2
+
1
d
x
=
1
2
(
arsinh
-->
x
+
x
x
2
+
1
)
+
C
=
=
1
2
(
ln
-->
(
x
+
x
2
+
1
)
+
x
x
2
+
1
)
+
C
∫ ∫ -->
x
2
− − -->
1
d
x
=
1
2
(
− − -->
arcosh
-->
x
+
x
x
2
− − -->
1
)
+
C
=
=
1
2
(
− − -->
ln
-->
(
x
+
x
2
− − -->
1
)
+
x
x
2
− − -->
1
)
+
C
∫ ∫ -->
d
x
1
− − -->
x
2
=
1
2
ln
-->
|
1
+
x
1
− − -->
x
|
+
C
=
=
{
artgh
-->
x
+
C
dla
|
x
|
<
1
arctgh
-->
x
+
C
dla
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C\\\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+C\\\int {\sqrt {x^{2}+1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {arsinh} \ x+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\\\int {\sqrt {x^{2}-1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(-\operatorname {arcosh} \ x+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|+C=\\&={\begin{cases}\operatorname {artgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|<1\\\operatorname {arctgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|>1\end{cases}}\end{aligned}}}
Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej
i
{\displaystyle i}
[10] [14] :
a
r
s
i
n
h
-->
x
=
− − -->
i
a
r
c
s
i
n
-->
(
i
x
)
a
r
c
o
s
h
-->
x
=
i
a
r
c
c
o
s
-->
x
a
r
t
g
h
-->
x
=
− − -->
i
a
r
c
t
g
-->
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ar\ sinh} x&=-i\operatorname {arc\ sin} (ix)\\\operatorname {ar\ cosh} x&=\ \ \ i\operatorname {arc\ cos} x\\\operatorname {ar\ tgh} x&=-i\operatorname {arc\ tg} (ix)\end{aligned}}}
Uwagi
↑ Używa się też oznaczeń ze spacją po skrócie
ar
,
{\displaystyle \operatorname {ar} ,}
np.
a
r
s
i
n
h
{\displaystyle \operatorname {ar\ sinh} }
w Encyklopedii PWN cytowanej dalej.
Przypisy
↑ Krysicki i Włodarski 1994 ↓ , s. 78.
↑ a b areafunkcje , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ Żakowski 1972 ↓ , s. 84.
↑ ar sinh , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ a b c d e f Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Inverse Hyperbolic Functions , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2024-04-14].
↑ a b ar cosh , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ ar tgh , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ ar ctgh , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ a b Żakowski 1972 ↓ , s. 85.
↑ a b c d e Inverse hyperbolic functions (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-13].
↑ a b c d Krysicki i Włodarski 1994 ↓ , s. 96.
↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Inverse Hyperbolic Secant , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2024-04-14].
↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Inverse Hyperbolic Cosecant , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2024-04-14].
↑ Ryżyk i Gradsztejn 1964 ↓ , s. 55.
Bibliografia