Istnieją dwa pierwiastki równania [a] różniące się znakiem, a mówiąc ściśle – są wzajemnie przeciwne[b]. Często dla stosuje się oznaczenie które ze względu na niejednoznaczność należy traktować jako symbol pierwiastka algebraicznego (a nie arytmetycznego) z liczby
Całkowite potęgi liczby powtarzają się cyklicznie. Dla
Ciałoliczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte, tzn. istnieją wielomiany zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań. Każdy wielomian można rozłożyć w nim na czynniki liniowe lub kwadratowe, ale nie każdy można rozłożyć na czynniki liniowe. Okazuje się, że dodając formalnie do jednostkę urojoną otrzymuje się liczby zespolone tworzące ciało liczbowe algebraicznie domknięte.
W tym celu rozpatruje się formalne liczby postaci gdzie [4]. Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych (przemienności i łącznościdodawania oraz mnożenia, a także z rozdzielności mnożenia względem dodawania) oraz ze wspomnianej wyżej własności elementu wynikają wzory na
dodawanie,
mnożenie
Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało.
Układ współrzędnych
Jednostka urojona i w układzie współrzędnych
Przełomem w nauce o liczbach zespolonych był tak zwany diagram Arganda – interpretacja geometryczna liczb zespolonych wprowadzona po raz pierwszy nie tyle przez Szwajcara Jeana Roberta Arganda, ile przez norweskiego geodetę-kartografa Duńskiej Akademii Nauk Caspara Wessela w jego jedynej pracy matematycznej Próba analitycznego przedstawienia kierunku i jego zastosowań, przede wszystkim w rozwiązywaniu wielokątów płaskich i sferycznych[5][6]. Zamiarem Wessela było stworzenie aparatu służącego do rozwiązywania zadań geodezyjnych.
Bliska idei Wessela jest konstrukcja, której ideę można streścić następująco[7]:
tak jak liczbę rzeczywistą można utożsamiać z punktem o współrzędnej na osi liczbowej, tak i liczbę zespoloną można utożsamiać z punktem o współrzędnych płaszczyzny;
jednostkę urojoną można wtedy utożsamiać z punktem o współrzędnych
Każdy punkt płaszczyzny można utożsamić jednoznacznie z jego wektorem wodzącym zaczepionym w początku układu współrzędnych; z kolei każdy wektor wodzący można utożsamić z wektorem swobodnym przez niego wyznaczonym. Formalnie mówienie o wektorach wodzących możliwe jest w przestrzeniach liniowych, z kolei układ współrzędnych kartezjańskich wymaga iloczynu skalarnego, czyli tzw. przestrzeni unitarnej (przestrzeni liniowej euklidesowej). O wektorach swobodnych mówić można w obecności struktury afinicznej, która dodana do przestrzeni unitarnej czyni z niej tzw. przestrzeń euklidesową (przestrzeni afinicznej euklidesowej).
W dwuwymiarowej przestrzeni unitarnej bądź euklidesowej ze standardowym iloczynem skalarnym jednostka urojona jest prostopadła do jednostki rzeczywistej przy czym oba te wektory tworzą bazę ortonormalną wspomnianej przestrzeni.
Dla jednowymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych rozpiętej na wektorze algebra Clifforda formy kwadratowej spełniającej ma strukturę ciała liczb zespolonych (jest z nim izomorficzna), a jest w niej jednostką urojoną[8].
Konstrukcja ciała liczb zespolonych polegająca na wprowadzeniu jednostki urojonej do ciała liczb rzeczywistych zastosowana do ciała liczb zespolonych umożliwia tworzenie innych struktur tego rodzaju, które jednak nie tworzą ciał. Zupełnie analogicznie jak w przypadku zespolonym określając na parach uporządkowanych liczb zespolonych [9] działania
↑J.J.J.J.O'ConnorJ.J.J.J., E.F.E.F.RobertsonE.F.E.F., The number e, Szkocja: MacTutor History of Mathematic, 2001. Brak numerów stron w książce
↑И.М. Яглом: Комплексные числа и их применение в геометрии. Москва: Едиториал УРСС, 2004, s. 7–9.
↑Caspar Wessel. Om directionens Analytiske Betegning et Forsög anwendt fornemellig til plane og sphaeriske Polygoners oplösning. „Danske Vidensk. Selsk. skr.”, 1799.brak numeru strony
↑Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia. Juszkiewicz A. P. (red.). Warszawa: PWN, 1977, s. 69.
↑Lew Pontriagin: Metoda współrzędnych. Warszawa: WSiP, 1995, s. 12–32. ISBN 83-02-05257-4.
↑Dale Husemoller: Fibre bundles (tłum. ros. Расслоенные пространства). Москва: Мир, 1970, s. 224–225.
Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia. A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977. Brak numerów stron w książce
И.М. Яглом: Комплексные числа и их применение в геометрии. Москва: Едиториал УРСС, 2004. Brak numerów stron w książce
Lew Pontriagin: Metoda współrzędnych. Warszawa: WSiP, 1995. ISBN 83-02-05257-4. Brak numerów stron w książce
Dale Husemoller: Fibre bundles. New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney: McGraw-Hill Book Company, 1966. Brak numerów stron w książce
Gaston Casanova: ĽAlgèbre Vectorielle. Presses Universitaires de France, 1976. Brak numerów stron w książce
Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1968. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
Eric W.E.W.WeissteinEric W.E.W., Imaginary Unit, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12](ang.).