Układ współrzędnych – odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi przestrzeni R n {\displaystyle R^{n}} skończony ciąg (n-krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu x ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \in R^{n}} [1][2].
Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest
Współczynniki a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.
W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.
Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:
W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.
Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu r {\displaystyle r} zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych x , y , z , {\displaystyle x,y,z,} przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność
(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.
(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się
(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.