Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych[1].
Definicja
Niech
będzie przestrzenią wektorową. Zbiór wektorów
nazywany jest bazą przestrzeni
gdy
Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowej
Niech
będzie przestrzenią wektorową. Niech wektory
należą do tej przestrzeni.
Następujące warunki są równoważne:
to baza przestrzeni ![{\displaystyle \mathbb {V} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d0e6a3f7f058c5c48d9009a99bd7f185e5c0e1)
ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów ![{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab59f1fa0b10ff8b953ad2db3d106e7f40833d9)
to minimalny układ wektorów generujących ![{\displaystyle \mathbb {V} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d0e6a3f7f058c5c48d9009a99bd7f185e5c0e1)
to maksymalny układ liniowo niezależny[4].
Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z warunku 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.
1 ⇒ 2
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje
taki że:
![{\displaystyle y_{0}=\xi _{1}x_{1}+\ldots +\xi _{n}x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cb5d1417395d76e44181410eed10862b60274f)
![{\displaystyle y_{0}=\Phi _{1}x_{1}+\ldots +\Phi _{n}x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01986917de4e7bc68a0c1fdfdda34b4734c5c694)
Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki, korzystając z własności przestrzeni wektorowej, otrzymamy, że:
![{\displaystyle 0=y_{0}-y_{0}=(\xi _{1}-\Phi _{1})x_{1}+\ldots (\xi _{n}-\Phi _{n})x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264f11524282b62affeeb8b95f14d362eb2ae796)
Stąd jasno wynika, że
(ponieważ układ
jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.
2 ⇒ 3
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go:
Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:
![{\displaystyle x_{n}=\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n-1}x_{n-1}+0\cdot x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f146dfc16032b2997ca6607c648199ab11426e)
Możemy jednak również wektor
zapisać jako:
![{\displaystyle x_{n}=0\cdot x_{1}+\ldots +0\cdot x_{n-1}+1\cdot x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60639d5bc36043e85c1b0fc6d694ce5b9a40e040)
Zauważmy jednak, że
Zatem wektor
został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów
co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora
3 ⇒ 4
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ
jest liniowo zależny.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
Weźmy dowolny wektor
Wtedy:
![{\displaystyle y=\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}=\alpha _{1}(\beta _{2}x_{2}+\ldots +\beta _{n}x_{n})+\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}=(\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2})x_{2}+\ldots +(\alpha _{1}\beta _{n}+\alpha _{n})x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bb0daca6032479e3885564e9fc1cf959c51d4a)
Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od
co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ
jest liniowo niezależny. Ponieważ układ
generuje całą przestrzeń
oraz
to:
![{\displaystyle v=\zeta _{1}x_{1}+\ldots +\zeta _{n}x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d23b4c6f1193d4566948db881c668e403f83d14)
Stąd wynika, że:
![{\displaystyle 1\cdot v-\zeta _{1}x_{1}-\ldots -\zeta _{n}x_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb5a1cf6d66dac878dd3a7c40e478f738e59306)
a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu
4 ⇒ 1
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ
nie generuje przestrzeni wektorowej
Zatem istnieje taki wektor
który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.
Rozważmy przypadek:
![{\displaystyle \varsigma v+\varsigma _{1}x_{1}+\ldots +\varsigma _{n}x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774c858413b48e1467fa81bd50e97232945bd9b5)
Gdyby
to
byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.
Gdyby
to równanie uprościłoby się do postaci
![{\displaystyle \varsigma _{1}x_{1}+\ldots +\varsigma _{n}x_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89f84e369596350801bf27ed3b67ddc8d4f4c5e)
co z liniowej niezależności wektorów
spowoduje, że
a ponieważ
to układ
byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.
Definicja ogólna
Baza przestrzeni
to maksymalny, liniowo niezależny, podzbiór wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni
w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny[6][7][8].
Przykłady
- Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
- Dany jest zbiór
wektorów w przestrzeni euklidesowej
Wektor
można przedstawić jako:
![{\displaystyle (1,1)=1\cdot (1,0)+1\cdot (0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7802fadcc0d00c75bc222315bb7eb9c89fd172a1)
- Wynika stąd, że
nie jest bazą przestrzeni ![{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b6072988a075144e2d27c23e998318772f225e)
- Z drugiej strony, niech
i niech
będzie dowolnym wektorem
Szukając przedstawienia wektora
jako kombinacji liniowej wektorów zbioru
mamy:
skąd
i ![{\displaystyle \beta =x-y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84b2da67b19ea36561d8ec0b0b12cf22a3446d1)
- Zatem przedstawienie wektora
jako kombinacji liniowej elementów zbioru
jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór
jest bazą przestrzeni ![{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b6072988a075144e2d27c23e998318772f225e)
- Niech
oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór
jest bazą przestrzeni
przy czym
jest wektorem, który na
-tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.
Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą
Niech
będzie bazą przestrzeni liniowej
Ponieważ każdy element
może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy
![{\displaystyle v=f_{1}(x_{1})x_{1}+\ldots +f_{n}(x_{n})x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7133245764bda8d387584241d433721c9206273)
gdzie:
oraz
więc dla każdego
odwzorowanie ![{\displaystyle f_{x}\colon V\to F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c7cc98b30520eaca5ed8e91904c40636637005)
– współczynnik stojący przy
w zapisie
jako kombinacji liniowej elementów z ![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
jest liniowe (formalnie,
gdy
nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwzorowania
są elementami przestrzeni sprzężonej
i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą
Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy
jest zbiorem skończonym.
Przykład
Współrzędnymi wektora
w bazie
przestrzeni
są liczby
oraz
Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha
Niech
będzie przestrzenią Banacha oraz niech
będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy
jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą
są ciągłe i tworzą bazę przestrzeni
Gdy
jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z
jest ciągłych.
- Dowód. Niech
będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha
Wówczas zbiór
też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami
i
różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą – bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z
ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały
są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu
z
Z zupełności przestrzeni
wynika, że suma szeregu
![{\displaystyle v=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}2^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8f9e500ed4620a6fe005dd43dd28d9253ee89d)
- należy do
Niech
będzie ciągiem sum częściowych szeregu
tj.
![{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}2^{-k}\;\;(n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f49006bc3c27e43804127d28026e6784f8cdcb)
- Z ciągłości
wynika, że
![{\displaystyle f_{x_{n}}(v)=f_{x_{n}}(\lim _{n\to \infty }y_{n})=\lim _{n\to \infty }f_{x_{n}}(y_{n})=2^{-n}\;\;(n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3f91db506b5cf7c51ed21ac82f1b593a7c569d)
- co prowadzi do sprzeczności bo
ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie
tj. zbiór
jest skończony. □
Istnienie bazy
Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.
Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.
Andreas Blass udowodnił w 1984[9], że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.
Dowód istnienia bazy
Nietrudno zauważyć, że liniowo niezależny zbiór
jest bazą przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy dodanie do zbioru
dowolnego nowego elementu powoduje utratę liniowej niezależności. A zatem baza to element maksymalny rodziny
uporządkowanej przez inkluzję. Użyjemy więc Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykazać istnienie elementu maksymalnego zbioru
W tym celu wystarczy stwierdzić, że każdy łańcuch jest w
ograniczony z góry. Niech więc
będzie łańcuchem w
i niech
Pokażemy, że zbiór
jest liniowo niezależny.
Istotnie, przypuśćmy, że
gdzie
Skoro wektory
należą do łańcucha
to każdy z nich należy do pewnego składnika. Stąd wynika, że
dla pewnych
Rodzina zbiorów
jest skończona i liniowo uporządkowana przez inkluzję, ma więc element największy. To znaczy, że dla pewnego
mamy
a przecież zbiór
jest liniowo niezależny. Stąd kombinacja liniowa
musi być trywialna i mamy
Ponieważ
jest liniowo niezależny, więc
a przy tym oczywiście
zawiera wszystkie elementy
jest więc ograniczeniem górnym naszego łańcucha w zbiorze
Spełnione jest więc założenie Lematu Kuratowskiego-Zorna i musi istnieć element maksymalny.
Wymiar przestrzeni liniowej
H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne[10] (krótszy dowód został podany przez H.E. Laceya[11]). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum[12]
Przestrzenie euklidesowe
Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów
nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora
w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.
Orientacja bazy
Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ baza Hamela, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-12-03] .
- ↑ baza, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ D. Farenick, Algebras of Linear Transformations, Springer 2001, s. 2.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 62, Twierdzenie 4.4.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7, s. 62–63, Twierdzenie 4.4 – dowód.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7, s. 62, Definicja 4.5.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 94, Definicja 6.7.
- ↑ Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, s. 65–66, Definicja 5.1.
- ↑ A. Blass, Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31-33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
- ↑ H. Löwig, Über die Dimension linearen Räume, Studia Mathematica, 5 (1934), 18-23.
- ↑ H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.
- ↑ G.W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), s. 155–207.
Wektory i działania na nich |
|
---|
Układy wektorów i ich macierze |
|
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów |
|
---|
Przestrzenie liniowe |
|
---|
Iloczyny skalarne |
|
---|
Pojęcia zaawansowane |
|
---|
Pozostałe pojęcia |
|
---|
Powiązane dyscypliny |
|
---|
Znani uczeni |
|
---|