Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości [1] znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym , jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta ) czy przestrzenie ortogonalne . Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa , ortogonalność w sensie Jamesa , ortogonalność w sensie Birkhoffa , T-ortogonalność )[2] .
Definicja
Elementy
x
{\displaystyle x}
i
y
{\displaystyle y}
przestrzeni unitarnej
X
{\displaystyle X}
z iloczynem skalarnym
⟨ ⟨ -->
⋅ ⋅ -->
,
⋅ ⋅ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
nazywa się ortogonalnymi , gdy
⟨ ⟨ -->
x
,
y
⟩ ⟩ -->
=
0.
{\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}
Relację
⟨ ⟨ -->
x
,
y
⟩ ⟩ -->
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle =0}
zapisuje się symbolicznie
x
⊥ ⊥ -->
y
.
{\displaystyle x\perp y.}
Podzbiór
A
{\displaystyle A}
przestrzeni unitarnej
X
{\displaystyle X}
nazywa się układem ortogonalnym , gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej
Długość wektora
a
=
[
a
x
,
a
y
,
a
z
]
{\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]}
w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem
|
a
|
=
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
.
{\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}
Jeżeli
a
=
[
a
x
,
a
y
,
a
z
]
{\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]}
i
b
=
[
b
x
,
b
y
,
b
z
]
{\displaystyle b=[b_{x},b_{y},b_{z}]}
są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora
c
=
b
− − -->
a
{\displaystyle c=b-a}
wynosi
|
c
|
=
|
b
− − -->
a
|
=
(
b
x
− − -->
a
x
)
2
+
(
b
y
− − -->
a
y
)
2
+
(
b
z
− − -->
a
z
)
2
.
{\displaystyle |c|=|b-a|={\sqrt {(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}}}.}
Liczby
|
a
|
,
|
b
|
,
|
c
|
{\displaystyle |a|,|b|,|c|}
są długościami boków trójkąta
o
a
b
,
{\displaystyle oab,}
gdzie
o
=
(
0
,
0
,
0
)
.
{\displaystyle o=(0,0,0).}
Trójkąt prostokątny o bokach
a
,
b
,
c
.
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} .}
Wektory
a
,
b
{\displaystyle a,b}
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt
o
a
b
{\displaystyle oab}
jest prostokątny , a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:
|
c
|
2
=
|
a
|
2
+
|
b
|
2
,
{\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2},}
tzn.
(
b
x
− − -->
a
x
)
2
+
(
b
y
− − -->
a
y
)
2
+
(
b
z
− − -->
a
z
)
2
=
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
+
b
x
2
+
b
y
2
+
b
z
2
.
{\displaystyle (b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}.}
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość
− − -->
2
a
x
b
x
− − -->
2
a
y
b
y
− − -->
2
a
z
b
z
=
0
,
{\displaystyle -2a_{x}b_{x}-2a_{y}b_{y}-2a_{z}b_{z}=0,}
która upraszcza się do wyrażenia
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
=
0.
{\displaystyle a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0.}
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów
a
{\displaystyle a}
i
b
{\displaystyle b}
w przestrzeni trójwymiarowej.
Przykłady
Przestrzenie euklidesowe
Wektory
[
− − -->
1
,
3
]
{\displaystyle [-1,3]}
i
[
3
,
1
]
{\displaystyle [3,1]}
na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
[
− − -->
1
,
3
]
⋅ ⋅ -->
[
3
1
]
=
− − -->
1
⋅ ⋅ -->
3
+
3
⋅ ⋅ -->
1
=
0.
{\displaystyle [-1,3]\cdot {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}=-1\cdot 3+3\cdot 1=0.}
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
Przestrzenie funkcyjne
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych , w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych , czy wielomianach ortogonalnych . Klasycznym przykładem jest przestrzeń
L
2
[
a
,
b
]
{\displaystyle L^{2}[a,b]}
, tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
o wartościach zespolonych , całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
tej przestrzeni definiuje się wzorem
⟨ ⟨ -->
f
,
g
⟩ ⟩ -->
=
∫ ∫ -->
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
¯ ¯ -->
d
t
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\mathrm {d} t.}
W przypadku, gdy
[
a
,
b
]
=
[
− − -->
π π -->
,
π π -->
]
,
{\displaystyle [a,b]=[-\pi ,\pi ],}
to rodzina funkcji
{
1
2
π π -->
,
sin
-->
n
x
π π -->
,
cos
-->
n
x
π π -->
:
n
∈ ∈ -->
N
}
{\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}:n\in \mathbb {N} \right\}}
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa .
Zobacz też
Przypisy