Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych
Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych (zwane czasem twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego) opisuje niezmienniczość liczby współczynników dodatnich i ujemnych formy kwadratowej ze względu na sprowadzanie jej do różnych postaci kanonicznych.
Twierdzenie
Jeśli sprowadza się rzeczywistą formę kwadratową do dwóch różnych postaci kanonicznych za pomocą nieosobliwych przekształceń rzeczywistych, to obie formy kanoniczne mają te same liczby współczynników dodatnich i współczynników ujemnych.
Przestrzenie ortogonalne
Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych można wypowiedzieć w języku przestrzeni ortogonalnych.
Załóżmy, że jest przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych oraz
![{\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4706044ef3fea2b8a78fce6ccb99483f6bfb9785)
są dwiema bazami prostopadłymi przestrzeni Wówczas,
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}r_{+}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&r_{+}(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\\r_{-}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&r_{-}(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\\r_{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&r_{0}(\beta _{1},\dots ,\beta _{n}),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0438e7509fae789678177aa9dc7da15c319b2b1a)
gdzie:
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}r_{+}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&\operatorname {card} \{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi }(\alpha _{i})>0\}\\r_{-}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&\operatorname {card} \{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi }(\alpha _{i})<0\}\\r_{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&\operatorname {card} \{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi }(\alpha _{i})=0\}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76d527b6e7759b49e2d2242f0483c8c7fd08ef4)
– forma kwadratowa funkcjonału dwuliniowego ![{\displaystyle \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301954fda87cb533b5ff06a995680fb94c521266)
Sygnatura funkcjonału
Liczbę
![{\displaystyle s(\xi ):=r_{+}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})-r_{-}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd8624bab5cabede210290865303639f31df7a1)
nazywa się sygnaturą funkcjonału (bądź przestrzeni – oznacza się zwykle ją wówczas symbolem ).
Zobacz też
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Law of inertia (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
|
|