Rząd – w algebrze liniowej dla danego przekształcenia liniowego
między przestrzeniami liniowymi
nad ciałem
wymiar obrazu
tego przekształcenia, tzn. liczba wektorów bazowych podprzestrzeni liniowej
przestrzeni
w literaturze polskojęzycznej oznacza się go m.in. symbolami
lub
w literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia
czy
[a].
Wszystkie opisane niżej własności dotyczące skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałami przenoszą się wprost na skończeniegenerowane moduły wolne nad pierścieniami przemiennymi (które można opisywać za pomocą macierzy nad tymi pierścieniami), dla których istnieje izomorfizm między danym modułem a modułem dualnym do niego; w ogólności może się zdarzyć, że rzędy tych przekształceń będą różne albo nawet nie możliwe do poprawnego zdefiniowania. W analizie funkcjonalnej, gdzie bada się przekształcenia liniowe między nieskończeniewymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z dodatkowymi strukturami), przekształcenia mające skończony rząd nazywa się operatorami skończonego rzędu.
Macierze
Jeżeli
są skończonego wymiaru odpowiednio
to rząd
również jest skończony i jest nie większy niż
(gdyż wymiar dowolnej podprzestrzeni skończonego wymiaru jest skończony). Wybierając w
i
bazy, odpowiednio
oraz
wprowadza się izomorfizmy
i
W ten sposób przekształcenie
można zapisać we współrzędnych (w bazach
) w postaci przekształcenia
korzystając z przestrzeni współrzędnych macierzowych zapisuje się je zwykle w postaci macierzy
typu
nazywanej macierzą przekształcenia liniowego
w bazach
Jeśli dana własność będzie odnosić się tak do przekształcenia
jak i jego macierzy
to obiekty te zbiorczo będą oznaczane
- Przekształcenia liniowe i ich macierze
Ponieważ kolumny macierzy
są obrazami wektorów bazy
w przekształceniu
to rozpinają one w
podprzestrzeń izomorficzną z obrazem
dlatego rząd macierzy
można definiować jako rząd tego przekształcenia liniowego, zwykle jednak czyni się na odwrót: definiuje się rząd macierzy i dowodzi, iż rzędy macierzy podobnych są równe, tzn. że rząd przekształcenia opisanego we współrzędnych nie zależy od ich wyboru (zob. Własności). W szczególności operacje elementarne zachowują rząd, co oznacza, że do jego obliczenia można wykorzystać metodę eliminacji Gaussa (lub metodę eliminacji Gaussa-Jordana): wówczas rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy macierzy wynikowej mającej postać schodkową (zwykłą lub zredukowaną).
- Przekształcenia dualne i macierze transponowane
Jeśli
są skończeniewymiarowe, to istnieje wtedy izomorfizm między tymi przestrzeniami a przestrzeniami dualnymi
przekształceniu
odpowiada wtedy przekształcenie dualne
któremu odpowiada z kolei macierz transponowana
W związku z tym, że dualizacja jest izomorfizmem, przekształcenie
ma rząd równy rzędowi
a rząd macierzy
jest równy rzędowi macierzy
Wprost stąd wynika, że rząd
nie może również przekraczać
w połączeniu z obserwacją z pierwszego akapitu oznacza to więc, iż rzędy te są nie większe niż mniejsza z liczb
Ponieważ transpozycja macierzy zamienia rolami jej wiersze i kolumny, to rząd macierzy
zwykło nazywać się rzędem kolumnowym, a z kolei rząd macierzy
– rzędem wierszowym macierzy
Tłumaczy to, dlaczego zazwyczaj pojęcia te definiuje się odpowiednio jako maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy bądź inaczej: wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami lub wierszami danej macierzy.
- Wyznacznik
Zobacz też: wyznacznik.
Ponieważ do określenia liniowej niezależności wektorów, kolumnowych bądź wierszowych, macierzy można wykorzystać wyznacznik, to rząd macierzy można wyznaczyć jako największy stopniem niezerowy minor tej macierzy[1]; czasami własność ta wykorzystywana jest jako definicja tzw. rzędu wyznacznikowego macierzy. W interpretacji geometrycznej oznacza to, że rząd układu wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy jest równy największemu wymiarowi wielowymiarowego równoległościanu rozpinanego przez te wektory.
- Własności
Rząd
jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie jest trywialne (tzn. odwzorowujące wszystkie wektory w wektor zerowy), bądź macierz jest zerowa. Przekształcenie
jest różnowartościowe (monomorifzmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd
tzn. ma „pełny rząd kolumnowy”, oraz na (epimorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd
tzn. ma „pełny rząd wierszowy”. Ponadto jeśli
z macierzą
typu
to rząd
rząd
rząd
Jeśli zaś
są przestrzeniami liniowymi nad
odpowiednio wymiaru
i dane są przekształcenia
z macierzą
typu
rzędu
oraz
z macierzą
typu
rzędu
to rzędy
oraz
są równe rzędowi
Niech
będą endomorfizmami, a
oznaczają ich kwadratowe macierze stopnia
Wówczas z połączenia powyższych stwierdzeń o różnowartościowości i byciu „na” wynika, że endomorfizm
jest odwracalny (izomorfizmem) bądź jego macierz
jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy rząd
tzn. ma „pełny rząd”. Zachodzi również tzw. nierówność Sylvestera o rzędzie: rząd
rząd
rząd
Uwagi
- ↑ Ang. rank, „rząd, szereg”, z norm. renc, reng; poch. germ., spokr. z swn. hring, „pierścień” (spokr. ze scs. krǫgŭ, „krąg”).
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|