Krzywa Vivianiego (rzadziej okno Vivianiego ) – krzywa będąca częścią wspólną przecinających się sfery i powierzchni bocznej (pewnej ograniczonej części) nieskończenie wysokiego walca .
Wzory
W kartezjańskim układzie współrzędnych , krzywą Vivianiego można opisać parametrycznie równaniami:
x
=
R
sin
2
-->
t
,
{\displaystyle x=R\sin ^{2}t,}
y
=
R
sin
-->
t
cos
-->
t
,
{\displaystyle y=R\sin t\cos t,}
z
=
R
cos
-->
t
.
{\displaystyle z=R\cos t.}
Długość całej krzywej wyraża się całką eliptyczną zupełną drugiego rodzaju:
l
=
4
R
∫ ∫ -->
0
π π -->
2
1
+
sin
2
-->
t
d
t
=
4
2
R
⋅ ⋅ -->
E
(
1
2
)
.
{\displaystyle l=4R\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1+\sin ^{2}t}}dt=4{\sqrt {2}}R\cdot E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).}
Bibliografia
Linki zewnętrzne