Ciąg geometryczny

Boki zacieniowanych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1/2, a pola powierzchni tych kwadratów – ciąg geometryczny o ilorazie 1/4.

Ciąg geometryczny, postęp geometryczny – ciąg liczbowy – skończony bądź nie – w którym każdy wyraz oprócz początkowego jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu^[1]. Czasem zakłada się dodatkowo, że liczba ta jest różna od zera^[1].

Formalnie: niech ${\displaystyle I=\{1,2,3,\dots ,n\}}$ lub ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ Ciąg liczbowy ${\displaystyle (a_{n})_{n\in I}}$ nazywa się geometrycznym, jeśli^[2]:

${\displaystyle \exists q\ \forall n\in I\setminus \{1\}:a_{n}=q\cdot a_{n-1}.}$

Ciąg geometryczny można traktować jako mnożeniowy (multyplikatywny) odpowiednik ciągu arytmetycznego.

Przykłady

• Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, ...) ma iloraz równy 3.
• Ciąg ${\displaystyle (-4,2,-1,{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{4}},\dots )}$ ma iloraz równy ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}.}$
• Ciąg (5, 0, 0, 0, 0, ...) ma iloraz równy 0.
• Ciąg (0, 0, 0, 0, 0, ...) nie ma jednoznacznego ilorazu. Założenie, że iloraz jest niezerowy, nie wyklucza tego przykładu. Mimo to ciąg zerowy bywa wykluczany z grona geometrycznych przez pewne jeszcze węższe definicje, podane dalej.

Definicje

• Z początkowej, rekurencyjnej definicji wynika wzór: ${\displaystyle a_{n}=q^{n-1}a_{1}.}$ Oznacza to, że przy dodatnich ilorazach ciąg geometryczny jest przykładem funkcji wykładniczej.

• Ciąg geometryczny wyróżnia się stałym stosunkiem wyrazów, co tłumaczy nazwę liczby ${\displaystyle q{:}}$ jeśli ${\displaystyle a_{n}\neq 0,}$ to ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q.}$ Ta definicja pociąga za sobą ${\displaystyle q\neq 0,}$ ponieważ zerowy iloraz oznaczałby zerowanie się licznika.

• Jeśli ${\displaystyle a_{i-1},a_{i},a_{i+1}}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego ${\displaystyle (a_{n}),}$ to prawdziwy jest wzór^[2]: ${\displaystyle a_{i}^{2}=a_{i-1}a_{i+1}.}$ Wynika stąd, że jeśli wszystkie wyrazy są nieujemne, to każdy niekrańcowy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Własności

Ciąg geometryczny może być:

• ograniczony lub nie;
• okresowy lub nie;
• monotoniczny lub nie;
• zbieżny, nawet jeśli nie jest monotoniczny;
• rozbieżny do nieskończoności;
• całkiem rozbieżny;
• arytmetyczny lub nie.

Ciąg geometryczny o nieujemnym ilorazie (q⩾0) jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest nieujemny, a iloraz jest:

• równy 0, to ciąg jest ostatecznie stały, najdalej od drugiego wyrazu;
• większy od 0, ale mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg zbiega do zera;
• równy 1, to ciąg jest stały;
• większy od 1, to przy zerze na początku ciąg jest stały, ale przy dodatnim początku wyrazy rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.

Za to gdy początek jest dodatni, a iloraz jest:

• mniejszy od 0, a większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg zbiega do zera.
• równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
• mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).

Powyższą listę przypadków podsumowuje tabela. Zbieżność ciągu zaznaczono zielonym tłem.

a1	q
	< –1	–1	> –1, < 0	0	> 0, < 1	1	> 1
< 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy wzrost do zera	ciąg stały	wykładniczy spadek do minus nieskończoności
0	ciąg stały
> 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy spadek do zera	ciąg stały	wykładniczy wzrost do nieskończoności

Suma wyrazów

Jeśli ciąg geometryczny ${\displaystyle (a_{n})}$ ma iloraz ${\displaystyle q\neq 1,}$ to suma jego ${\displaystyle n}$ początkowych wyrazów wynosi^[2]:

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}q^{k-1}a_{1}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}.}$

Przypadek ${\displaystyle q=1}$ sprowadza się do sumy ciągu stałego, czyli ${\displaystyle S_{n}=na_{1}.}$

Jeśli ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ – zob. szereg geometryczny.

Przypisy

Zobacz publikację Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny w Wikibooks

Zobacz hasło ciąg geometryczny w Wikisłowniku

1. ciąg geometryczny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30] .
2. Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Kontrola autorytatywna (arithmetico-geometric sequence):

• J9U: 987007531747105171

Encyklopedie internetowe:

• Britannica: topic/geometric-sequence