W matematyce
-adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej
stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby
-adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę
Ta własność sprawia, że liczby
-adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata dokonanym przez Andrew Wilesa.
Liczby
-adyczne zostały po raz pierwszy opisane przez Kurta Hensela w 1897 roku, chociaż niejawne odwołania do nich można znaleźć także we wcześniejszych pracach Kummera. Hensel zajmował się nimi, gdyż chciał przenieść techniki stosowane normalnie wobec szeregów potęgowych do teorii liczb. Obecnie wpływ liczb
-adycznych wykracza szeroko poza samą teorię liczb. Dla przykładu, analiza p-adyczna jest alternatywą dla klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego.
Formalniej, dla ustalonej liczby
ciało
liczb
-adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach
-adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest zupełna, to znaczy każdy ciąg Cauchy’ego zbiega do pewnego punktu w
Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby
-adyczne są takie użyteczne.
Rozwinięcia p-adyczne
Jeżeli ustalimy liczbę pierwszą
to każda dodatnia liczba całkowita może zostać zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie
jako
gdzie całkowite liczby
spełniają nierówności
Dla przykładu, możemy rozwinąć
jako
Podobne rozwinięcia istnieją także dla liczb wymiernych (oraz rzeczywistych), musimy jednak dopuścić sumy o nieskończenie wielu składnikach oraz sumy ujemne, czyli
![{\displaystyle \pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52149e366b2e7bcae1121a583e3d1221882ee8cd)
Precyzyjne określenie, czym są te nieskończone sumy, opiera się na ciągach Cauchy’ego oraz wartości bezwzględnej jako metryki. Liczby
-adyczne również definiuje się przy pomocy nieskończonych sum. „Wielkość” liczby naturalnej określa jej odległość od zera na osi liczbowej, podczas gdy „wielkość” liczby
-adycznej zależy od tego, jak bardzo jest podzielna przez potęgi
(im liczba bardziej podzielna, tym mniejsza). Rozpatrzmy szeregi
gdzie
jest niekoniecznie dodatnią liczbą całkowitą, zaś
to cyfry
-adyczne, czyli rozwinięcia
-adyczne liczb
-adycznych. Te liczby, dla których
dla
nazywamy
-adycznymi liczbami całkowitymi (dla odróżnienia od całkowitych liczb wymiernych, to jest elementów zbioru
). Zbiór wszystkich całkowitych liczb
-adycznych oznacza się przez
czego nie należy mylić z pierścieniem liczb całkowitych modulo
(ten będziemy oznaczać przez
).
Chociaż można w ten sposób zdefiniować liczby
-adyczne i badać ich własności (jak robi się to z liczbami rzeczywistymi), matematycy preferują inne podejścia. Dwie różne i równoważne konstrukcje przedstawione są w następnej sekcji.
Konstrukcja
Podejście analityczne
Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako klasy abstrakcji ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych, co umożliwia, na przykład, napisanie
Definicja ciągu Cauchy’ego zależy od wyboru metryki, zatem jeżeli wybierzemy inną metrykę, możemy otrzymać liczby różne od rzeczywistych. Metrykę, której użycie prowadzi do liczb rzeczywistych, nazywa się euklidesową.
Dla ustalonej liczby pierwszej
definiujemy
-adyczną wartość bezwzględną na
w następujący sposób: dla liczby wymiernej
różnej od zera istnieje dokładnie jedna liczba całkowita
taka, że
![{\displaystyle x=p^{n}\cdot {\frac {a}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa96fab774de4f726fafd9269119ada5b268ba9)
gdzie żadna z liczb
nie dzieli się przez
Określamy
oraz
Z taką wartością bezwzględną duże potęgi
stają się „małe”. Twierdzenie Ostrowskiego orzeka, że każda z wartości bezwzględnych na
jest równoważna z euklidesową, trywialną lub pewną
-adyczną dla ustalonej liczby
Z
-adyczną wartością bezwzględną można związać metrykę na
zadaną wzorem
Ciało
stanowi uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem tej metryki. Można pokazać, że każdy element
przedstawia się w postaci szeregu
![{\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0a6f0fbc7489157428c9d0c56a20536d346303)
gdzie
jest pewną liczbą całkowitą, dla której
zaś wszystkie cyfry
należą do zbioru
Z
-adyczną wartością bezwzględną ciało
jest ciałem lokalnym.
Podejście algebraiczne
W podejściu algebraicznym definiujemy najpierw pierścień liczb
-adycznych. Na jego podstawie konstruuje się ciało ułamków, czyli dokładnie
ciało liczb
-adycznych. Zaczynamy od granicy odwrotnej pierścieni
całkowitą liczbą
-adyczną jest wtedy ciąg
taki, że
należy do
zaś
pociąga
Każda liczba naturalna
definiuje taki ciąg
przez
a zatem może być traktowana jako
-adyczna liczba całkowita. Dla przykładu, liczba 35 jako 2-adyczna całkowita byłaby zapisana jako ciąg (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35...).
Działania w pierścieniu sprowadzają się do punktowego dodawania oraz mnożenia ciągów. Jest to poprawna definicja, bowiem wzięcie reszty z dzielenia oraz sumy (lub iloczynu) w różnej kolejności nie ma wpływu na wynik. Co więcej, każdy ciąg, którego pierwszym wyrazem nie jest zero, jest odwracalny. W takim przypadku dla każdego
oraz
są względnie pierwsze, a z tego względu również
i
Oznacza to, że istnieje element odwrotny do
modulo
Ciąg tych odwrotności
jest poszukiwanym elementem odwrotnym do
Dla przykładu, rozpatrzmy 2-adyczną liczbę całkowitą odpowiadającą siódemce: (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7...). Odwrotność tego ciągu można zapisać jako niemalejący ciąg, którego początkiem jest (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 183, 439, 439, 1463...). Oczywiście nie odpowiada on żadnej liczbie naturalnej, gdyż w pierścieniu
liczb całkowitych jedynymi elementami odwracalnymi są 1 i −1.
W pierścieniu całkowitych liczb
-adycznych nie ma żadnych dzielników zera, więc możemy zbudować jego ciało ułamków,
W ciele tym każda niezerowa liczba
-adyczna zapisuje się jednoznacznie jako
gdzie
jest naturalna, zaś
to jedność. Mamy więc prawo napisać
![{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\operatorname {Quot} \left(\mathbb {Z} _{p}\right)\cong (p^{\mathbb {N} })^{-1}\mathbb {Z} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e7c3628d633732b4f6b0c304cabc0ff2466d4a)
Zbiór
gdzie
jest podzbiorem multiplikatywnym (zawiera jedynkę i jest zamknięty na mnożenie) przemiennego pierścienia z jedynką, to algebraiczna konstrukcja zwana pierścieniem ułamków lub lokalizacją
przez
Własności
Moc zbioru
jest granicą odwrotną skończonych pierścieni
która sama jest nieprzeliczalna – dokładniej, jest równoliczna ze zbiorem liczb rzeczywistych (jest mocy continuum). Co za tym idzie, ciało
również jest nieprzeliczalne. Pierścień endomorfizmów
-grupy Prüfera rangi
, standardowo oznaczany przez
jest pierścieniem macierzy
nad
czasami nazywa się go również modułem Tate’a.
Zastosowania
Liczby
-adyczne są bardzo ważne w teorii liczb, gdzie pomagają rozwiązywać równania diofantyczne i klasyfikować formy kwadratowe nad ciałem liczb wymiernych (zasada lokalno-globalna Minkowskiego-Hasse). Dowód hipotezy Weila o wymierności
-funkcji rozmaitości algebraicznych nad ciałami skończonymi, podany przez B. Dworka[1] w 1960, wykorzystywał analizę
-adyczną (funkcje
-adyczne, ich pochodne i całki).
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Bernard Dwork: On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. Amer. J. Math. 82, 1960. Brak numerów stron w książce
Bibliografia
Linki zewnętrzne