Rozmaitość algebraiczna – zbiór punktów, których współrzędne spełniają pewien układ równań wielomianowych.
Historyczne znaczenie rozmaitości algebraicznych zaczęło być widoczne od czasu udowodnienia podstawowego twierdzenia algebry, które łączy w pewnym sensie algebrę i geometrię, gdyż mówi, że wielomian jednej zmiennej zespolonej jest wyznaczony jednoznacznie przez zbiór swoich pierwiastków – obiekt zasadniczo geometryczny. Rozszerzając to rozumowanie, twierdzenie Hilberta o zerach pokazuje fundamentalną odpowiedniość między ideałami w pierścieniach wielomianów, a podzbiorami przestrzeni afinicznej. Dzięki temu twierdzeniu i związanym z nim wynikom, możemy badać obiekty geometryczne, jakimi są rozmaitości algebraiczne, metodami algebry, w szczególności teorii pierścieni.
Definicja
Rozważane są cztery rodzaje rozmaitości algebraicznych: rozmaitości afiniczne, rozmaitości quasi-afiniczne, rozmaitości rzutowe i rozmaitości quasi-rzutowe. Istnieją także pewne uogólnienia tych pojęć, określane terminem abstrakcyjnych rozmaitości algebraicznych.
Rozmaitości afiniczne
Niech
będzie ciałem algebraicznie domkniętym, zaś
niech będzie n-wymiarową przestrzenią afiniczną nad
Wielomiany
możemy uważać za funkcje na
o wartościach w
Dla każdego
zdefiniujmy miejsce zer jako podzbiór
w którym wszystkie wielomiany ze zbioru
znikają:
![{\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {A} ^{n}|f(x)=0{\mbox{ dla wszystkich }}f\in S\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f27ea21930f0e3030f95d6418fce6485b26ed95)
będący podzbiorem
nazywamy afinicznym zbiorem algebraicznym, jeśli
dla pewnego
Niepusty afiniczny zbiór algebraiczny nazywamy nierozkładalnym, jeśli nie można go zapisać jako suma dwóch właściwych podzbiorów algebraicznych. Nierozkładalny afiniczny zbiór algebraiczny nazywamy afiniczną rozmaitością algebraiczną lub po prostu rozmaitością afiniczną.
Dla rozmaitości afinicznych możemy przyjąć naturalną topologię, tzw. topologię Zariskiego, poprzez określenie, że zbiorami domkniętymi są wszystkie zbiory algebraiczne.
Dla
– podzbioru
niech
będzie ideałem wszystkich wielomianów znikających na
![{\displaystyle I(V)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]|f(x)=0{\mbox{ dla wszystkich }}x\in V\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d65b40aed154c4d6b1d0e6bf3d5fc1d39eb9c32)
Dla dowolnego zbioru algebraicznego
pierścieniem współrzędnych lub pierścieniem struktury nazywamy iloraz pierścienia wielomianów przez ten ideał.
Rozmaitości rzutowe
Niech
oznacza n-wymiarową przestrzeń rzutową nad ciałem
Wielomiany jednorodne w pierścieniu
możemy rozważać jako funkcje na
o wartościach w
poprzez waluację we współrzędnych jednorodnych. Jednorodność wielomianów gwarantuje, że konstrukcja ta jest poprawna. Dla dowolnego
miejsce zer zbioru
definiujemy analogicznie, jak w przypadku afinicznym:
![{\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}|f(x)=0{\mbox{ dla wszystkich }}f\in S\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2c9e9f3ad49100048905e493906ac76a7eab99)
– podzbiór
nazywamy rzutowym zbiorem algebraicznym jeśli
dla pewnego
Nierozkładalny rzutowy zbiór algebraiczny nazywamy algebraiczną rozmaitością rzutową, lub krócej rozmaitością rzutową.
Tak samo, jak w przypadku afinicznym, możemy przyjąć w naturalny sposób topologię Zariskiego.
Dla
niech
będzie ideałem generowanym przez wszystkie wielomiany jednorodne znikające na
Dla dowolnego rzutowego zbioru algebraicznego
pierścieniem współrzędnych tego zbioru nazywamy iloraz pierścienia wielomianów przez ten ideał.
Podstawowe własności
- Afiniczny zbiór algebraiczny
jest rozmaitością wtw
jest ideałem pierwszym; równoważnie,
jest rozmaitością wtw jej pierścień współrzędnych jest dziedziną całkowitości.
- Każdy niepusty afiniczny zbiór algebraiczny można jednoznacznie przedstawić jako suma rozmaitości algebraicznych.
- Niech
oznacza pierścień współrzędnych rozmaitości
Wtedy mówimy, że wymiar
to stopień przestępności ciała ułamków pierścienia
nad ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
Zobacz też
Bibliografia
- Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-90244-9.
- David Cox, John Little, Don O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0-387-94680-2.
- David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1999, ISBN 0-387-94269-6.
- David Dummit, Richard Foote, Abstract Algebra, third edition, Wiley, 2003, ISBN 0-471-43334-9.