Przestrzeń rzutowa – modyfikacja przestrzeni geometrycznej poprzez dołączenie do zbioru punktów przestrzeni wszystkich kierunków tej przestrzeni[1]. W tak powiększonej przestrzeni każde dwie różne proste rzutowe leżące na jednej płaszczyźnie rzutowej posiadają punkt wspólny właściwy lub niewłaściwy zwany punktem w nieskończoności.
W szerszym ujęciu: jest to przestrzeń euklidesowa En, do której dołączono wszystkie kierunki tej przestrzeni, oznaczana symbolem Pn. Przestrzeń P1 jest homeomorficzna z okręgiem[a], przestrzeń P² jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa, w której brzeg wklejono koło (dysk), i tworzy płaszczyznę rzutową rzeczywistą.
Niech
będzie ciałem oraz
niech będzie iloczynem kartezjańskim
kopii tego ciała,
Niech
będzie relacją 2-argumentową w zbiorze
zdefiniowaną następująco:
wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego
zachodzi ![{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(\alpha y_{1},\alpha y_{2},\dots ,\alpha y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b26bbd382a7b1e75ae150e841a61c7d489140a)
Relacja
jest równoważnością.
Zbiór klas abstrakcji relacji
czyli zbiór
nazywa się przestrzenią rzutową wymiaru
i jest oznaczany Pn-1.
Zgodnie z definicją, P0 jest zbiorem jednoelementowym, czyli punktem.
Uwagi
- ↑ Takie stwierdzenie wymaga uprzedniego rozszerzenia topologii na przestrzeń Pn.
Przypisy
Bibliografia