Dzielnik zera
Dzielnik zera – element pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element spełniający [1].
W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[2]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.
Własności
- Dowód Niech
będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny generowany przez jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny Ponieważ jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).
- Dowód: Gdyby dla elementu
istniały elementy i takie, że to:
![{\displaystyle b=1\cdot b=(ca)b=c(ab)=c\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dd2ad2d42ed0da6d85a6f86cda261ef983f5f1)
- wbrew założeniu.
Przykłady
- W pierścieniu
właściwymi dzielnikami zera są i bowiem ![{\displaystyle 2\cdot 3=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0726375e78f92201518909ea8dc522fd0386db15)
- W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest
bowiem ![{\displaystyle (0,1)\cdot (0,1)=(0,0);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca58fd14f269fd3cd5f348cd9dc9bc3fb93e0961)
- W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są
i bowiem ![{\displaystyle (2,2)\cdot (3,-3)=(0,0);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e5d5642ee9bccbdaec69002ed2b5c7e0d3bdbe)
- W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa
ponieważ ![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db31e03c406df4dbaeab9014b18499d9719b910)
Zobacz też
Przypisy
|
|