Ideał główny
Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli jest elementem pierścienia z jedynką, to:
- prawostronny ideał główny
jest równy
![{\displaystyle \colon b\in R\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b25eaacfd797bfa073b6a6b7be1b6074469b1c1)
- lewostronny ideał główny
jest równy
![{\displaystyle \colon b\in R\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b25eaacfd797bfa073b6a6b7be1b6074469b1c1)
- dwustronny ideał główny
jest równy
![{\displaystyle \{b_{1}\cdot a\cdot b'_{1}+\dots +b_{n}\cdot a\cdot b'_{n}\colon b_{i},b'_{i}\in R\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa1db4a86faf881cb4207971a4ea4ad7cdd36c0)
Jeśli jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element pierścienia oznacza się Mówi się, że jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w są główne. Dodatkowo, gdy jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.
Własności
- Jeżeli
i są niezerowymi elementami pierścienia to wtedy i tylko wtedy, gdy przy czym oznacza relację stowarzyszenia tj. dzieli oraz dzieli ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
- Jeżeli
jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów jest główny.
Przykłady
- Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych
jest ideałem głównym i jest postaci
![{\displaystyle (n)=\{n\cdot a\colon a\in \mathbb {Z} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e5931ca329158da254b52cfd9c95813fd7c909)
- Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz
Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci gdzie i są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci gdzie i są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
- Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.
Bibliografia
- J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Brak numerów stron w książce
- Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6.
- Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2.
- AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 . Brak numerów stron w książce
|
|