Reprezentacja grupy – każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.
Definicja
Reprezentacją grupy
w przestrzeni liniowej
nad ciałem
jest homomorfizm grupy
w pełną grupę liniową
Wymiar przestrzeni wektorowej
nazywamy wymiarem reprezentacji.
Minimalność
Jeśli
jest skończona, to minimalnym (bądź wiernym) stopniem tej grupy, oznaczanym symbolem
nazywa się najmniejszą liczbę naturalną
dla której
jest podgrupą grupy symetrycznej
rzędu
dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (bądź wierną) reprezentacją grupy
Charaktery
Niech
będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji
nazywamy odwzorowanie
gdzie
zaś
jest operatorem śladu.
Iloczyny tensorowe i sumy proste
Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie
przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.
Dla
![{\displaystyle \varphi :G\to GL(V),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da816e1191831fbf59443776386e32037cc0054)
![{\displaystyle \psi :G\to GL(W),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7c5a13a6db9da66d4f92703d7e7212f490b86d)
jest to
![{\displaystyle \varphi \oplus \psi :G\to GL(V\oplus W),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63253f2b6adbf66ef21b6cd0c64a965c23a29a57)
![{\displaystyle (\varphi \oplus \psi )(g)=\varphi (g)\oplus \psi (g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174d3293aedcfa4e1f085a78bf40d291b45de3f2)
Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie
przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.
Dla
![{\displaystyle \varphi :G\to GL(V),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da816e1191831fbf59443776386e32037cc0054)
![{\displaystyle \psi :G\to GL(W),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7c5a13a6db9da66d4f92703d7e7212f490b86d)
jest to
![{\displaystyle \varphi \otimes \psi :G\to GL(V\otimes W),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe828f8515e12db3557d768ac6f73951d87a760)
![{\displaystyle (\varphi \otimes \psi )(g)=\varphi (g)\otimes \psi (g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b8f01e5d864908bf4a5b55a3bed457134e0376)
Zobacz też
Bibliografia