Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli
jest grupą skończoną i
jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy
(liczby elementów grupy
), to w
istnieje element rzędu
Oznacza to, że istnieje
taki, że dla najmniejszego niezerowego
zachodzi
gdzie
jest elementem neutralnym.
Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy
dzieli rząd grupy
Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej
będącej dzielnikiem rzędu
istnieje podgrupa grupy
której rzędem jest
i jest to grupa cykliczna.
Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli
jest liczbą pierwszą, a
jest dzielnikiem rzędu grupy
to
ma podgrupę rzędu
Twierdzenie i dowód
Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.
Twierdzenie: Niech
będzie grupą skończoną, a
liczbą pierwszą. Jeśli
dzieli rząd grupy
to
ma element rzędu
Dowód 1
Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem
Przypadek, gdzie
jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd
Przypuśćmy najpierw, że
jest abelowa. Weźmy dowolny element
który generuje grupę cykliczną
Jeśli
dzieli
to
jest elementem rzędu
Jeśli
nie dzieli
to dzieli rząd
grupy ilorazowej
która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu
Element ten jest warstwą
dla
Jeśli
jest rzędem
to
w
daje, że
w
więc
dzieli
Jak wcześniej,
jest elementem rzędu
w
co kończy dowód w przypadku abelowym.
Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech
będzie centrum
które jest podgrupą abelową. Jeśli
dzieli
to
zawiera element rzędu
w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że
nie dzieli rzędu
Ponieważ nie dzieli
to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez
Rozmiarem tym jest
więc
dzieli rząd centralizatora
elementu
w
który jest podgrupą właściwą, ponieważ
nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu
co kończy dowód.
Dowód 2
W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu
gdzie
jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są
i
co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór
skończonych ciągów z
o długości
których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych
elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że
elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór
ma
elementów, które są podzielne przez
Z faktu, że jeśli
to także
wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z
daje element zbioru
Można określić działanie w grupie cyklicznej
rzędu
na
przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w
wybrany generator przypisuje
W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość
lub
Działo się tak dla uporządkowanego zbioru
dla którego
Zliczając elementy
na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających
jest podzielna przez
Ale
jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej
innych rozwiązań dla
i te rozwiązania są elementami rzędu
To kończy dowód.
Zastosowania
Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie
jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa
jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd
dla dowolnej liczby naturalnej
) wtedy i tylko wtedy, gdy
ma rząd
dla dowolnej liczby naturalnej
Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.