Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami ${\displaystyle V_{4}}$ lub ${\displaystyle K_{4}.}$

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa Kleina^[1], który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 roku^[2].

Wszystkie elementy grupy są samoodwrotne. Wyjąwszy element neutralny dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje

Grupę Kleina definiuje działanie ${\displaystyle \circ }$ określone na zbiorze czterech (różnych) elementów ${\displaystyle V_{4}=\{e,a,b,c\}}$ dane jak w tabeli niżej^[3], gdzie element ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym.

Tabliczka działania grupy ${\displaystyle V_{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$
${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle e}$

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów ${\displaystyle a,b}$ oraz trzech relacji ${\displaystyle a^{2}=e,}$ ${\displaystyle b^{2}=e}$ i ${\displaystyle (ab)^{2}=e;}$ innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

${\displaystyle V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}$

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom ${\displaystyle e,a,b,c}$):

• iloczyn prosty ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ (z dodawaniem modulo 2):

  ${\displaystyle (0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);}$

• grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):

  identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o ${\displaystyle 180^{\circ };}$

• podgrupa permutacji grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{4}{:}}$

  ${\displaystyle \operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).}$

Można ją również skonstruować na zbiorze ${\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}}$ z operacją mnożenia modulo 8^[a]. W tym wypadku ${\displaystyle a}$ odpowiada ${\displaystyle {\overline {3}},}$ ${\displaystyle b}$ opisuje ${\displaystyle {\overline {5}}}$ i wreszcie ${\displaystyle c=ab}$ to istotnie ${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.}$

Własności

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa^[1] (nie jest więc grupą cykliczną^[b]); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania^[c].

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych^[d]; druga z nich jest grupą cykliczną^[b].

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)^[e].

Uwagi

1. Zob. podgrupa § Przykłady: Kryterium bycia podgrupą skończoną.
2. Czteroelementowa grupa cykliczna zawiera element rzędu 4 będący jej generatorem.
3. Przemienność działania w grupie Kleina można wywnioskować zaobserwowawszy, że tablica Cayleya jej działania jest symetryczna względem głównej przekątnej.
4. Można się o tym przekonać wprost, rozpatrując wszystkie tabliczki działania dla czterech (różnych) elementów, które muszą być kwadratami łacińskimi (ze względu na własność skracania w grupie bądź jednoznaczność rozwiązań równań liniowych w grupie, por. grupa § Własności), przy czym wiersz i kolumna dla działania z elementem neutralnym są ustalone.
5. Grupa ${\displaystyle V_{4}}$ jest podgrupą normalną grupy alternującej ${\displaystyle A_{4},}$ przy czym ${\displaystyle A_{4}/V_{4}\simeq C_{3}}$ jest abelowa (jako cykliczna). Ponadto podgrupa trywialna ${\displaystyle E}$ również jest normalna w ${\displaystyle V_{4},}$ przy czym ${\displaystyle V_{4}/E\simeq V_{4}}$ także jest abelowa. Oznacza to, że ciąg (podnormalny) podgrup ${\displaystyle E\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4}}$ ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa ${\displaystyle A_{4}}$ jest rozwiązalna. Tym bardziej rozwiązalna ${\displaystyle S_{4},}$ która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio ${\displaystyle A_{4}\vartriangleleft S_{4}}$ i ${\displaystyle S_{4}/V_{4}\simeq C_{2}}$ jest abelowa. Rozwiązalność równań wynika z zasadniczego twierdzenia teorii Galois.

Przypisy

1. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 34.
2. Klein 1884 ↓, s. 12.
3. Gleichgewicht 2004 ↓, tabela 2.4, s. 33.

Bibliografia

• Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Lipsk: B.G. Teubner, 1884. (niem.).
• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Vierergruppe, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-09-05].

Encyklopedie internetowe (grupa diedralna):

• DSDE: Kleins_firegruppe