Jest żonaty z Cristiną Venturą. Wieloletni związek, z którego ma córki–bliźniaczki Claudię i Almę (ur. w kwietniu 2001 roku), potwierdził ślubem w czerwcu 2002 roku, kilka dni po wielkoszlemowym triumfie na kortach im. Rolanda Garrosa. Świadkiem na ślubie Costy był jego przyjaciel, pokonany przez niego w półfinale French Open Àlex Corretja.
Z Albertem Costą nie jest spokrewniony inny tenisista hiszpański o tym nazwisku, Carlos Costa.
Kariera tenisowa
Treningi tenisowe rozpoczął w wieku 5 lat. Był czołowym juniorem świata, w 1993 roku wygrywając turniej Orange Bowl oraz będąc w finale French Open.
Jako zawodowy tenisista Costa występował w latach 1993–2006.
W 1995 roku wyeliminował na turnieju French Open byłego mistrza imprezy, Jima Couriera, a z Thomasem Musterem zagrał pięciosetowy mecz. Zrewanżował się Musterowi kilka miesięcy później w finale turnieju w Kitzbühel, gdzie odniósł swoje pierwsze turniejowe zwycięstwo rangi ATP World Tour.
W 1996 roku Costa wygrał kolejne 3 turnieje, był w finale w Monte Carlo (pokonał m.in. Marcelo Ríosa i Andre Agassiego, przegrał z Thomasem Musterem), po raz pierwszy znalazł się w czołowej "dwudziestce" rankingu, a rok zakończył na pozycji nr 13.
W sezonie 1997 Hiszpan dotarł do ćwierćfinału Australian Open (przegrał w 5 setach z późniejszym zwycięzcą Pete'em Samprasem), wygrał turnieje w Barcelonie i Marbelli, przyczynił się do zdobycia przez Hiszpanię Drużynowego Pucharu Świata (pozostał w tej imprezie niepokonany). W kwietniu 1997 osiągnął pozycję nr 9. w rankingu ATP.
W 1999 roku triumfował w zawodach w Estoril, Gstaad i ponownie w Kitzbühel.
W 2000 roku tenisista hiszpański po raz pierwszy od kilku lat nie zdołał wygrać żadnego turnieju, był natomiast w ćwierćfinale French Open (pokonał m.in. Thomasa Enqvista i Lleytona Hewitta, przegrał z Franco Squillarim). Osiągnął także sukcesy jako reprezentant kraju – w parze z Àlexem Corretją zdobył brązowy medal w deblu na igrzyskach olimpijskich w Sydney, a późną jesienią przyczynił się do pierwszego triumfu Hiszpanii w Pucharze Davisa.
Po nieco słabszym sezonie 2001 (finał w Kitzbühel przegrany z Nicolásem Lapenttim i 4 runda US Open) doczekał się wielkiego sukcesu w 2002 roku. Do turnieju French Open nie przystępował jako faworyt, klasyfikowany dopiero na 22. miejscu rankingu światowego. Costa pokonał w drodze do finału m.in. trzykrotnego triumfatora imprezy Gustavo Kuertena, Guillermo Cañasa i w półfinale Àlexa Corretję. W finale okazał się lepszy od Juana Carlosa Ferrero, wygrywając 6:1, 6:0, 4:6, 6:3. Wygrana dała mu awans na najwyższą pozycję w karierze – nr 6. Był także w finałach w Barcelonie (przegrał z Gastónem Gaudio) i Amersfoort (przegrał z Juanem Ignacio Chelą). Po raz drugi w karierze wystąpił w turnieju Tennis Masters Cup, jako trzeci Hiszpan obok Carlosa Moyi i Juana Carlosa Ferrero.
Nie udało mu się obronić tytułu na French Open w 2003 roku. Doszedł wówczas do półfinału, wygrywając 4 z 5 spotkań w 5 setach (m.in. z Radkiem Štěpánkiem, Nicolásem Lapenttim i Tommym Robredo). Odpadł po porażce z Juanem Carlosem Ferrero, który został zwycięzcą całego turnieju. W marcu 2003 roku Costa był także w półfinale imprezy w Miami, gdzie pokonał takich graczy jak Nicolás Massú, Roger Federer i Guillermo Coria, a przegrał z Andre Agassim.
Słabsze sezony 2004 i 2005 sprawiły, że zaczął zastanawiać się nad zakończeniem kariery sportowej. Początkowo zamierzał zakończyć występy jesienią 2005 roku, ostatecznie jednak kontynuował grę do 2006 roku. Podczas sezonu 2005 odniósł zwycięstwo deblowe w Ad-Dausze wspólnie z Rafaelem Nadalem.
Albert Costa jest zawodnikiem praworęcznym, wyróżniającym się klasycznym, jednoręcznym bekhendem. W reprezentacji w Pucharze Davisa debiutował w kwietniu 1996 roku, wygrał 11 meczów, a 8 przegrał. Miał znaczący udział w zdobyciu trofeum w 2000 roku (w 1 rundzie pokonał Davide Sanguinettiego, w ćwierćfinale Jewgienija Kafielnikowa, w półfinale Todda Martina. W finale przegrał z Lleytonem Hewittem, a do meczu z Patrickiem Rafterem nie doszło, ponieważ Hiszpanie zapewnili sobie już prowadzenie 3:1), zabrakło go natomiast w składzie ekipy hiszpańskiej w 2004 roku, kiedy ponownie zdobyła tytuł.
W grudniu 2008 roku objął funkcję kapitana reprezentacji Hiszpanii w Pucharze Davisa, zastępując Emilio Sáncheza.
