Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)

Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli ${\displaystyle G}$ jest grupą skończoną i ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy ${\displaystyle G}$ (liczby elementów grupy ${\displaystyle G}$), to w ${\displaystyle G}$ istnieje element rzędu ${\displaystyle p.}$ Oznacza to, że istnieje ${\displaystyle x\in G}$ taki, że dla najmniejszego niezerowego ${\displaystyle p}$ zachodzi ${\displaystyle x^{p}=e,}$ gdzie ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy ${\displaystyle G}$ dzieli rząd grupy ${\displaystyle G.}$ Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej ${\displaystyle p,}$ będącej dzielnikiem rzędu ${\displaystyle G,}$ istnieje podgrupa grupy ${\displaystyle G,}$ której rzędem jest ${\displaystyle p}$ i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, a ${\displaystyle p^{n}}$ jest dzielnikiem rzędu grupy ${\displaystyle G,}$ to ${\displaystyle G}$ ma podgrupę rzędu ${\displaystyle p^{n}.}$

Twierdzenie i dowód

Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

Twierdzenie: Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą skończoną, a ${\displaystyle p}$ liczbą pierwszą. Jeśli ${\displaystyle p}$ dzieli rząd grupy ${\displaystyle G,}$ to ${\displaystyle G}$ ma element rzędu ${\displaystyle p.}$

Dowód 1

Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem ${\displaystyle n=|G|.}$ Przypadek, gdzie ${\displaystyle n=p}$ jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd ${\displaystyle p.}$ Przypuśćmy najpierw, że ${\displaystyle G}$ jest abelowa. Weźmy dowolny element ${\displaystyle a,}$ który generuje grupę cykliczną ${\displaystyle H.}$ Jeśli ${\displaystyle p}$ dzieli ${\displaystyle |H|,}$ to ${\displaystyle a^{|H|/p}}$ jest elementem rzędu ${\displaystyle p.}$ Jeśli ${\displaystyle p}$ nie dzieli ${\displaystyle |H|,}$ to dzieli rząd ${\displaystyle [G:H]}$grupy ilorazowej ${\displaystyle G/H,}$ która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu ${\displaystyle p.}$ Element ten jest warstwą ${\displaystyle xH}$ dla ${\displaystyle x\in G.}$ Jeśli ${\displaystyle m}$ jest rzędem ${\displaystyle x\in G,}$ to ${\displaystyle x^{m}=e}$ w ${\displaystyle G}$ daje, że ${\displaystyle (xH)^{m}=eH}$ w ${\displaystyle G/H,}$ więc ${\displaystyle p}$ dzieli ${\displaystyle m.}$ Jak wcześniej, ${\displaystyle x^{m/p}}$ jest elementem rzędu ${\displaystyle p}$ w ${\displaystyle G,}$ co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech ${\displaystyle Z}$ będzie centrum ${\displaystyle G,}$ które jest podgrupą abelową. Jeśli ${\displaystyle p}$ dzieli ${\displaystyle |Z|,}$ to ${\displaystyle Z}$ zawiera element rzędu ${\displaystyle p}$ w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że ${\displaystyle p}$ nie dzieli rzędu ${\displaystyle Z.}$ Ponieważ nie dzieli ${\displaystyle |G|,}$ to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez ${\displaystyle p.}$ Rozmiarem tym jest ${\displaystyle [G:C_{G}(a)],}$ więc ${\displaystyle p}$ dzieli rząd centralizatora ${\displaystyle C_{G}(a)}$ elementu ${\displaystyle a}$ w ${\displaystyle G,}$ który jest podgrupą właściwą, ponieważ ${\displaystyle a}$ nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu ${\displaystyle p,}$ co kończy dowód.

Dowód 2

W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu ${\displaystyle p,}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są ${\displaystyle 1}$ i ${\displaystyle p}$ co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór ${\displaystyle X=\{(x_{1},\dots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\ldots x_{p}=e\}}$ skończonych ciągów z ${\displaystyle G}$ o długości ${\displaystyle p,}$ których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych ${\displaystyle p}$ elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że ${\displaystyle p-1}$ elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór ${\displaystyle X}$ ma ${\displaystyle |G|^{p-1}}$ elementów, które są podzielne przez ${\displaystyle p.}$

Z faktu, że jeśli ${\displaystyle ab=e,}$ to także ${\displaystyle ba=e,}$ wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z ${\displaystyle X}$ daje element zbioru ${\displaystyle X.}$ Można określić działanie w grupie cyklicznej ${\displaystyle C_{p}}$ rzędu ${\displaystyle p}$ na ${\displaystyle X}$ przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w ${\displaystyle C_{p}}$ wybrany generator przypisuje ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\dots ,x_{p},x_{1}).}$

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość ${\displaystyle 1}$ lub ${\displaystyle p.}$ Działo się tak dla uporządkowanego zbioru ${\displaystyle (x,x,\dots ,x),}$ dla którego ${\displaystyle x^{p}=e.}$ Zliczając elementy ${\displaystyle X}$ na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających ${\displaystyle x^{p}=e}$ jest podzielna przez ${\displaystyle p.}$ Ale ${\displaystyle x=e}$ jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej ${\displaystyle p-1}$ innych rozwiązań dla ${\displaystyle x}$ i te rozwiązania są elementami rzędu ${\displaystyle p.}$ To kończy dowód.

Zastosowania

Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa ${\displaystyle G}$ jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd ${\displaystyle p^{k}}$ dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle G}$ ma rząd ${\displaystyle p^{n}}$ dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n.}$ Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.