Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида

Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	16 граней 25 рёбер 11 вершин Χ = 2
Грани	15 треугольников 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(3^3.5) 1+5(3^5)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J11, М3+А5
Группа симметрии	C5v

Скру́ченно удлинённая пятиуго́льная пирами́да,^[1] или отсечённый икоса́эдр — один из многогранников Джонсона (J₁₁, по Залгаллеру — М₃+А₅).

Составлена из 16 граней: 15 правильных треугольников и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью треугольными; среди треугольных 5 граней окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 10 — тремя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и треугольной гранями, остальные 20 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная грань и три треугольных; в остальных 6 — пять треугольных.

Скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной антипризмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основание пирамиды к одному из оснований антипризмы.

Кроме того, скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из икосаэдра, отсекши от того пятиугольную пирамиду. Вершины полученного многогранника — 11 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 25 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Метрические характеристики

Если скрученно удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\left(15{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 8{,}2156679a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{24}}\left(25+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 1{,}8801922a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 0{,}9510565a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0{,}8090170a.}$

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 20.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.