Удлинённая четырёхуго́льная бипирами́да[1] — один из многогранников Джонсона (J15, по Залгаллеру — М2+П4+М2).
Составлена из 12 граней: 8 правильных треугольников и 4 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная — одной квадратной и двумя треугольными.
Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 4 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 8 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 8 — между двумя треугольными.
У удлинённой четырёхугольной бипирамиды 10 вершин. В 8 вершинах (расположенных как вершины куба) сходятся две квадратных грани и две треугольных; в остальных 2 — четыре треугольных.
Удлинённую четырёхугольную бипирамиду можно получить из трёх многогранников — куба и двух квадратных пирамид, все рёбра у которых одинаковой длины (J1), — приложив основания пирамид к двум противоположным граням куба.
Метрические характеристики
Если удлинённая четырёхугольная бипирамида имеет ребро длины
, её площадь поверхности и объём выражаются как
![{\displaystyle S=\left(4+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7{,}4641016a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a870986c3facf79c13c0ecf29a89eac80fd9886)
![{\displaystyle V=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)a^{3}\approx 1{,}4714045a^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92100f750efdea849b2bc0a7d8fb0cf51399e1f7)
В координатах
Удлинённую четырёхугольную бипирамиду с длиной ребра
можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты
![{\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f91ea9e7636ce3d938206332373c1f8179b5c7)
![{\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b67ad0bdc679bb275c28839fc4ed5c92d0caba)
При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три из пяти осей симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три из пяти плоскостей симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.
Заполнение пространства
Замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений при помощи многогранников Джонсона J15 нельзя. Если, однако, немного деформировать удлинённую четырёхугольную бипирамиду, превратив равносторонние треугольники в равнобедренные с отношением сторон
получим многогранник, изоморфный J15, для которого заполнение пространства становится возможным:
![]()
На иллюстрации копии многогранника окрашены в три разных цвета в соответствии с их различной ориентацией в пространстве.
В природе и культуре
В форме удлинённой четырёхугольной бипирамиды и близких к ней многогранников встречаются кристаллы циркона:
На гравюре Маурица Эшера «Звёзды» (1948) присутствует (у середины верхнего края) многогранник, изоморфный J15 — несколько «сжатый» так, что вместо квадратных граней у него прямоугольники.
Примечания
Ссылки