По-видимому, впервые равногранные тетраэдры подробно изучались Адольфом Шмидтом в 1884 году[1] и Давидом Бессо в 1886 году[2]. В 1935 году свойства равногранных тетраэдров систематически изложены в книге[3].
его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
его развёртка, полученная при разрезании ломаной из трёх звеньев, — параллелограмм;
у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
все его трёхгранные углы равны
сумма углов треугольников при каждой вершине равна );
сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
все его медианы равны;
все его высоты равны;
центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
радиусы окружностей описанных около граней равны;
периметры граней равны;
площади граней равны;
противоположные двугранные углы равны;
противоположные рёбра равны;
центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере;
среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях;[4] (То же свойство выделяет равногранные тетраэдры среди всех замкнутых выпуклых поверхностей.[5])
тетраэдр является равногранным тогда и только тогда когда выполняется равенство . Здесь , , , и — объём тетраэдра .[6]
↑P. Couderc, A. Balliccioni. Premier livre du tétraèdre. A l’usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l’agrégation. Paris, Gauthier-Villars (1935). 204 p.
↑В. Ю. Протасов. О числе замкнутых геодезических на многограннике // УМН. — 2008. — Т. 63, № 5(383). — С. 197–198.