Икосододека́эдр [1] [2] [3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников .
В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен
π π -->
+
arccos
-->
3
+
16
5
45
≈ ≈ -->
1
,
17
π π -->
.
{\displaystyle \pi +\arccos {\frac {3+16{\sqrt {5}}}{45}}\approx 1{,}17\pi .}
Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
arccos
-->
(
− − -->
5
+
2
5
15
)
≈ ≈ -->
142
,
62
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142,62^{\circ }.}
Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра , «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид ; либо из додекаэдра , «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.
Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции » (1509)
В координатах
Икосододекаэдр с длиной ребра
2
{\displaystyle 2}
можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел
(
0
;
0
;
± ± -->
2
Φ Φ -->
)
,
{\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm 2\Phi \right),}
(
± ± -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
;
± ± -->
Φ Φ -->
2
)
,
{\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\right),}
где
Φ Φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
— отношение золотого сечения .
Начало координат
(
0
;
0
;
0
)
{\displaystyle (0;0;0)}
будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер .
Метрические характеристики
Если икосододекаэдр имеет ребро длины
a
{\displaystyle a}
, его площадь поверхности и объём выражаются как
S
=
(
5
3
+
3
25
+
10
5
)
a
2
≈ ≈ -->
29,305
9828
a
2
,
{\displaystyle S=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29{,}3059828a^{2},}
V
=
1
6
(
45
+
17
5
)
a
3
≈ ≈ -->
13,835
5259
a
3
.
{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}8355259a^{3}.}
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
R
=
1
2
(
1
+
5
)
a
=
Φ Φ -->
a
≈ ≈ -->
1,618
0340
a
,
{\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=\Phi a\approx 1{,}6180340a,}
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
ρ ρ -->
=
1
2
5
+
2
5
a
≈ ≈ -->
1,538
8418
a
.
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a.}
Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром
a
{\displaystyle a}
(она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен
r
5
=
5
+
2
5
5
a
≈ ≈ -->
1,376
3819
a
.
{\displaystyle r_{5}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}\;a\approx 1{,}3763819a.}
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит
r
5
{\displaystyle r_{5}}
и равно
r
3
=
7
+
3
5
6
a
≈ ≈ -->
1,511
5226
a
.
{\displaystyle r_{3}={\sqrt {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}\;a\approx 1{,}5115226a.}
Примечания
Ссылки
Литература