Гекзакисокта́эдр (от др.-греч. ἑξάκις — «шестижды», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), также называемый дисдакисдодека́эдром (от др.-греч. δίς — «дважды», δυάκις — «два раза», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоусечённому кубооктаэдру.
Составлен из 48 одинаковых разносторонних остроугольных треугольников с углами
и
Имеет 26 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.
У гекзакисоктаэдра 72 ребра — 24 «длинных» (расположенных так же, как рёбра ромбододекаэдра), 24 «средних» и 24 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
Гекзакисоктаэдр можно получить из ромбододекаэдра, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную пирамиду с ромбическим основанием, равным грани ромбододекаэдра, и высотой, которая в
раз меньше стороны основания.
Гекзакисоктаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь[1].
Метрические характеристики
Если «короткие» рёбра гекзакисоктаэдра имеют длину
, то его «средние» рёбра имеют длину
а «длинные» рёбра — длину
Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как
![{\displaystyle S={\frac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\;a^{2}\approx 32{,}0667340a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e01a038fc04e88795ea223f0d2d0c8d694d948e)
![{\displaystyle V={\frac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}\;a^{3}\approx 16{,}2889191a^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f10dc038c4479154d4e0f21e3b79283c4abc55)
Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен
![{\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{97}}\left(498+285{\sqrt {2}}\right)}}\;a\approx 1{,}5239081a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b58df6a42d1e1165d020e9b0c13da567e1a1aa4)
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\sqrt {22+12{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}5606602a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b33394d1d64a390a12400cf9c66aaafb802ad1)
Описать около гекзакисоктаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Примечания
Ссылки