Усечённый октаэдр

Усечённый октаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, перестановочный, параллелоэдр, зоноэдр
Комбинаторика
Элементы	14 граней 36 рёбер 24 вершины Χ = 2
Грани	6 квадратов 8 шестиугольников
Конфигурация вершины	4.6^2
Двойственный многогранник	тетракисгексаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	tO, bT
Символ Шлефли	tr{3,3}
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Усечённый окта́эдр^[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две шестиугольных грани и одна квадратная. Телесный угол при вершине равен в точности ${\displaystyle \pi .}$

Усечённый октаэдр имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя шестиугольными гранями) двугранные углы равны ${\textstyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\circ },}$ как в октаэдре; при 24 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) ${\textstyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ },}$ как в кубооктаэдре.

Усечённый октаэдр можно получить из обычного октаэдра, «срезав» с того 6 квадратных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр октаэдра и куба.

Иллюстрация Леонардо да Винчи для трактата Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Усечённый октаэдр с длиной ребра ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\textstyle (0;\;\pm 1;\;\pm 2).}$

Начало координат ${\textstyle (0;\;0;\;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый октаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=6\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 26{,}7846097a^{2},}$

${\displaystyle V=8{\sqrt {2}}\;a^{3}\approx 11{,}3137085a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {10}}{2}}\;a\approx 1{,}5811388a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\;a=1{,}5a.}$

Вписать в усечённый октаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого октаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех шестиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{6}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\;a\approx 1{,}2247449a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой квадратной грани превосходит ${\displaystyle r_{6}}$ и равно

${\displaystyle r_{4}={\sqrt {2}}\;a\approx 1{,}4142136a.}$

Заполнение пространства

С помощью усечённых октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

• 
  Фрагмент заполнения
• 
  Рёберная модель

Кроме того, пространство можно замостить усечёнными октаэдрами вместе с усечёнными кубооктаэдрами и кубами; вместе с усечёнными тетраэдрами и кубооктаэдрами.

• 
  Усечённые кубооктаэдры, усечённые октаэдры и кубы
• 
  Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры.

В природе и культуре

Формы, близкие к усечённому октаэдру, встречаются у кристаллов флюорита (плавикового шпата), пирита, в атомных структурах содалита, фожазита.

• 
  Флюорит
• 
  Пирит
• 
  Атомная структура содалита

Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

В виде усечённого октаэдра был выполнен Adidas Teamgeist, официальный мяч чемпионата мира по футболу 2006 года. Это первый подобный мяч чемпионата мира, состоящий из 14 панелей; ранее мячи изготавливались из 32 панелей и напоминали усечённый икосаэдр.

• 
  Старинная китайская игральная кость периода Сражающихся царств
• 
  Вариант кубика Рубика
• 
  Уличная скульптура в Бонне
• 
  Верёвочный городок в Загребе
• 
  Верёвочный городок в Салоу

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 31.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
3. Люстерник, 1956, с. 183.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Усечённый октаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.