Пентакисдодека́эдр (от др.-греч. πεντάχις — «пятижды», δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому икосаэдру . Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников , в которых один из углов равен
arccos
9
5
− − -->
7
36
≈ ≈ -->
68
,
62
∘ ∘ -->
,
{\displaystyle \arccos \,{\frac {9{\sqrt {5}}-7}{36}}\approx 68{,}62^{\circ },}
а два других
arccos
9
− − -->
5
12
≈ ≈ -->
55
,
69
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle \arccos \,{\frac {9-{\sqrt {5}}}{12}}\approx 55{,}69^{\circ }.}
Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра ) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра ) сходятся меньшими углами по 6 граней.
У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра додекаэдра) и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
arccos
-->
(
− − -->
80
+
9
5
109
)
≈ ≈ -->
156
,
72
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {80+9{\sqrt {5}}}{109}}\right)\approx 156{,}72^{\circ }.}
Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра , приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в
65
− − -->
22
5
≈ ≈ -->
3
,
98
{\displaystyle {\sqrt {65-22{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}98}
раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.
Наземная станция системы спутниковой связи SPTR-2 в Антарктиде . Обтекатель антенны выполнен в виде пентакисдодекаэдра.
Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции » (1509)
Метрические характеристики
Если «короткие» рёбра пентакисдодекаэдра имеют длину
a
{\displaystyle a}
, то его «длинные» рёбра имеют длину
1
6
(
9
− − -->
5
)
a
≈ ≈ -->
1
,
13
a
,
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(9-{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}13a,}
а площадь поверхности и объём выражаются как
S
=
5
3
1
2
(
421
+
63
5
)
a
2
≈ ≈ -->
27,935
2496
a
2
,
{\displaystyle S={\frac {5}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(421+63{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{2}\approx 27{,}9352496a^{2},}
V
=
5
36
(
41
+
25
5
)
a
3
≈ ≈ -->
13,458
5694
a
3
.
{\displaystyle V={\frac {5}{36}}\left(41+25{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}4585694a^{3}.}
Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах ) при этом будет равен
r
=
1
2
1
109
(
477
+
194
5
)
a
≈ ≈ -->
1,445
3319
a
,
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{109}}\left(477+194{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 1{,}4453319a,}
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
ρ ρ -->
=
11
+
3
5
12
a
≈ ≈ -->
1,475
6837
a
.
{\displaystyle \rho ={\frac {11+3{\sqrt {5}}}{12}}a\approx 1{,}4756837a.}
Описать около пентакисдодекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Ссылки