Кубооктаэдр

Кубооктаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
Элементы	14 граней 24 ребра 12 вершин Χ = 2
Грани	8 треугольников 6 квадратов
Конфигурация вершины	3.4.3.4
Двойственный многогранник	ромбододекаэдр
Вершинная фигура
Развёртка
Классификация
Обозначения	aC, aaT
Символ Шлефли	r{3,4}, rr{3,3}
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Кубоокта́эдр^[1][2] или кубокта́эдр^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов.

В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)\approx 0{,}78\pi .}$

Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ }.}$

Кубооктаэдр можно получить из куба, «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид; либо из октаэдра, «срезав» с него 6 квадратных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Кубооктаэдр с длиной ребра ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (0;\;\pm 1;\;\pm 1).}$

Начало координат ${\displaystyle (0;\;0;\;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если кубооктаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9{,}4641016a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 2{,}3570226a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R=a=1{,}0000000a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a.}$

Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{4}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{4}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a.}$

Звёздчатые формы

Кубооктаэдр образует звёздчатые формы:

• 
  Исходный многогранник
• 
  Первая звёздчатая форма
• 
  Вторая звёздчатая форма
• 
  Третья звёздчатая форма
• 
  Четвёртая звёздчатая форма

Заполнение пространства

Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:

• 
  Кубооктаэдры и октаэдры
• 
  Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы
• 
  Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
• 
  Растянутые ромбододекаэдры, кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы

В природе и культуре

Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани^[4]. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous^[5].

• 
  Кристалл синтетического алмаза под электронным микроскопом
• 
  Вариант кубика Рубика
• 

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 35.
2. Люстерник, 1956, с. 183.
3. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
4. Coriolis Station (Classic) в энциклопедии Elite Wiki (Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine)
5. Coriolis в энциклопедии Elite Dangerous Wiki (Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine)

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Кубооктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.