Два замкнутых выпуклыхмногогранникаконгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверхностями переводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.
История
Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник
был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.[1]
Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.[2]
Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена Штейницем и исправлена только в 1934 году[3].
Вариации и обобщения
Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.
Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.
Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности (теорема единственности Погорелова).
