Триакисокта́эдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», οκτώ — «восемь» и ἕδρα — «грань»), также называемый тригон-триоктаэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому кубу. Составлен из 24 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен
а два других
Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими острыми углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся тупыми углами по 3 грани.
У триаксоктаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра октаэдра) и 24 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромбододекаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
Триакисоктаэдр можно получить из октаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани октаэдра, и высотой, которая в
раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 8 граней исходного — с чем и связано его название.
Триакисоктаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла[1]; гамильтонова пути для всех шести также нет.
Метрические характеристики
Если «короткие» рёбра триакисоктаэдра имеют длину
, то его «длинные» рёбра имеют длину
а площадь поверхности и объём выражаются как
![{\displaystyle S=3{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a^{2}\approx 10{,}6729419a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c16635b68527688e0f36d54a76412a341009498)
![{\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(3+2{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}9142136a^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b15c46cd2a53f6fef1a7293632c09d93144c05)
Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен
![{\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {23+16{\sqrt {2}}}{17}}}\;a\approx 0{,}8191407a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeb9fd7b8582178552f2dd408fc6d54b2a3e5de)
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 0{,}8535534a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dd63dd5880effa760d1b987b57dcfb59cd720c)
Описать около триакисоктаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Примечательные свойства
Триакисоктаэдр изоморфен звёздчатому октаэдру; это означает, что между гранями, рёбрами и вершинами двух данных многогранников можно установить взаимно однозначное соответствие так, что соответствующие рёбра будут соединять соответствующие вершины и так далее. Другими словами, если бы «шарнирно соединённые» друг с другом грани и рёбра многогранника можно было сжимать и растягивать (но не гнуть), триакисоксаэдр удалось бы превратить в звёздчатый октаэдр — и наоборот.
Примечания
Ссылки