Ромб

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны^[1] (см. другие варианты определения➤).

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
• Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
• Диагонали ромба являются осями его симметрии.
• В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
• Диагонали ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ ромба выражаются через сторону ромба ${\displaystyle a}$ и угол ${\displaystyle \alpha }$ между двумя смежными сторонами ромба как

${\displaystyle p=({\sqrt {1+\sin \alpha }}-{\sqrt {1-\sin \alpha }})a=2a\sin {\frac {\alpha }{2}}}$;

${\displaystyle q=({\sqrt {1+\sin \alpha }}+{\sqrt {1-\sin \alpha }})a=2a\cos {\frac {\alpha }{2}}}$.

Признаки

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник^[2], все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом^[3][1].

Параллелограмм ${\displaystyle ABCD}$ является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий^[4]:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
• Его диагонали пересекаются под прямым углом.
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
• Диагонали параллелограмма являются осями симметрии^[5].

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Квадрат как частный случай ромба

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов^[6][7].

Уравнение ромба

К уравнению ромба (центр в начале координат)

Уравнение ромба с центром в точке ${\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}}$ и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде^[8]:

${\displaystyle {\frac {|x-x_{0}|}{a}}+{\frac {|y-y_{0}|}{b}}=1,}$

где ${\displaystyle a,b}$ — половины длин диагоналей ромба по осям ${\displaystyle X,Y}$ соответственно.

Длина стороны ромба равна ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$ Площадь ромба равна ${\displaystyle 2ab.}$ Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

${\displaystyle 2\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}}$

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=a,}$

где сторона квадрата равна ${\displaystyle a{\sqrt {2}},}$ а его диагональ равна ${\displaystyle 2a.}$ Соответственно площадь квадрата равна ${\displaystyle 2a^{2}.}$

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать^[8] как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

${\displaystyle S={\dfrac {AC\cdot BD}{2}}}$

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

${\displaystyle S=a\cdot h}$

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

${\displaystyle S=a^{2}\cdot \sin \alpha }$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\dfrac {4r^{2}}{\sin \alpha }};}$

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

${\displaystyle S=2ar.}$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде^[9]:

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}$

В геральдике

Ромб является простой геральдической фигурой.

• 
  Червлёный ромб в серебряном поле
• 
  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
• 
  Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
• 
  В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

• 
  Ромбический орнамент
• 
  Ромбические звёзды
• 
  Более сложный орнамент
• 
  Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. также

• Дельтоид
• Звезда (геометрия)
• Ромбододекаэдр
• Ромбоид
• Ромб (символ)

Примечания

1. Элементарная математика, 1976, с. 435..
2. Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).
3. Погорелоа А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. Архивная копия от 19 апреля 2023 на Wayback Machine М.: Просвещение, 2001, С. 18.
4. Элементарная математика, 1976, с. 435—436..
5. Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : [арх. 20 февраля 2023] : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 26. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
6. Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.
7. Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.
8. Weisstein, Eric W. Superellipse (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Здесь ромб назван diamond.
9. Weisstein, Eric W. Rhombus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.